「6月雅礼集训 2017 Day5」学外语
【题目大意】
给出$\{P_i\}$，求经过以下操作后能够得到的不同序列个数：
第一步，选择$i, j$，交换$P_i,P_j$；第二步，把所有$P_x=i$的$P_x$变为$j$，把所有$P_x=j$的$P_x$变为$i$。
$n \leq 10^5$
【题解】
显然就是求
给出一个基环内向森林，求交换编号后，不同构的个数。
考虑什么时候会发生同构的情况。
容易发现，每当出现k个子树相同，或k个环套树相同，就有 k! 种同构方案。
那么我们只需要做一遍树哈希、环套树哈希（可以用最小表示法，或者按照哈希值最小作为起点）来处理。
代码好难写。。。
还被卡哈希了。。还没调处来qwq
upd: 是我找循环节错了
最小表示法：
# include <map>
# include <math.h>
# include <vector>
# include <stdio.h>
# include <assert.h>
# include <string.h>
# include <iostream>
# include <algorithm>
// # include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
const int M = 5e5 + , N = 2e5 + ;
const int mod = 1e9+; # define RG register
# define ST static inline int getint() {
int x = ; char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
while(isdigit(ch)) x = x * + ch - '', ch = getchar();
return x;
} int n, p[M], ans, fuckyou = ;
struct Graph {
int n, head[N], nxt[M], to[M], tot;
inline void set(int _n) {
n = _n; tot = ;
for (int i=; i<=n; ++i) head[i] = ;
}
inline void add(int u, int v) {
++tot; nxt[tot] = head[u]; head[u] = tot; to[tot] = v;
}
inline void adde(int u, int v) {
add(u, v), add(v, u);
}
}G; struct us {
int fa[N], n;
inline void set(int _n) {
n = _n; for (int i=; i<=n; ++i) fa[i] = i;
}
inline int getf(int x) {
return fa[x] == x ? x : fa[x] = getf(fa[x]);
}
inline void un(int fu, int fv) {
fa[fu] = fv;
}
}U; vector<int> ring[N]; int rn = ; namespace FACINV {
int fac[N], inv[N], Inv[N]; inline int pwr(int a, int b, int P = mod) {
int ret = ;
while(b) {
if(b&) ret = 1ll * ret * a % P;
a = 1ll * a * a % P;
b >>= ;
}
return ret;
} inline void prepare() {
fac[] = ; inv[] = ;
for (int i=; i<=; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i-] * i % mod;
inv[] = pwr(fac[], mod-);
for (int i=; i; --i) inv[i] = 1ll * inv[i+] * (i+) % mod;
for (int i=; i; --i) Inv[i+] = 1ll * inv[i+] * fac[i] % mod;
Inv[] = ;
} inline int gP(int x, int y) {
assert(x >= y);
return 1ll * fac[x] * inv[x-y] % mod;
} inline int gC(int x, int y) {
assert(x >= y);
return 1ll * fac[x] * inv[x-y] % mod * inv[y] % mod;
}
} using namespace FACINV; namespace SOLVE_RINGS {
bool inrings[N];
int c[N], cn = , deg[N];
bool vis[N];
inline void dfs_rings(int x) {
if(vis[x]) {
++rn; for (int i=cn; i; --i) ring[rn].push_back(c[i]);
return ;
}
c[++cn] = x; vis[x] = ;
for (int i=G.head[x]; i; i=G.nxt[i]) ++deg[x], dfs_rings(G.to[i]);
--cn;
} inline void find_rings() {
U.set(n);
for (int i=; i<=n; ++i) {
RG int fu = U.getf(p[i]), fv = U.getf(i);
if(fu == fv) inrings[i] = ;
else U.un(fu, fv);
}
for (int i=; i<=n; ++i) {
if(!inrings[i]) continue;
cn = ;
dfs_rings(i);
}
} inline void debug_rings() {
for (int i=; i<=rn; ++i) {
printf("num = %d\n ", i);
for (int j=; j<ring[i].size(); ++j)
cout << ring[i][j] << ' ';
cout << endl;
}
} inline void clear_rings() {
for (int i=; i<=rn; ++i) ring[i].clear();
for (int i=; i<=n; ++i) inrings[i] = vis[i] = deg[i] = ;
rn = ;
}
} using namespace SOLVE_RINGS; struct pa {
ull hash; int sz;
pa() {}
pa(ull hash, int sz) : hash(hash), sz(sz) {}
};
ull HA[M], HB[M]; vector<pa> tem;
inline void debug_tem() {
for (int i=; i<tem.size(); ++i)
printf("hash = %lld, size = %d\n", tem[i].hash, tem[i].sz);
} inline bool cmp_hash(pa a, pa b) {
return a.hash < b.hash;
} inline void gs(bool flag) {
if(flag) sort(tem.begin(), tem.end(), cmp_hash);
for (int i=, j, t; i<tem.size(); i=j) {
j = i; while(j<tem.size() && tem[j].hash == tem[i].hash) ++j;
fuckyou = 1ll * fuckyou * fac[j-i] % mod;
}
} inline void gs2() {
int sz = tem.size();
for (int i=; i*i<=sz; ++i) {
if(sz % i == ) {
bool gg = ;
int d = sz/i;
for (int j=; j<sz; ++j) {
if(tem[j].hash != tem[(j-i+sz) % sz].hash) {
gg = ;
break;
}
}
if(!gg) {
fuckyou = 1ll * fuckyou * d % mod;
return ;
}
}
}
for (int i=sqrt(sz); i; --i) {
if(sz % i == ) {
bool gg = ;
int d = i;
for (int j=; j<sz; ++j) {
if(tem[j].hash != tem[(j-sz/i+sz) % sz].hash) {
gg = ;
break;
}
}
if(!gg) {
fuckyou = 1ll * fuckyou * d % mod;
return ;
}
}
}
return ;
} inline int mininum() {
int i=, j=, len = tem.size(), l;
while(i<len && j<len) {
for (l=; l<len; ++l) if(tem[(i+l)%len].hash != tem[(j+l)%len].hash) break;
if(l>len) break;
if(tem[(i+l)%len].hash > tem[(j+l)%len].hash) i = i+l+;
else j = j+l+;
if(i == j) j = i+;
}
if(i<j) return i;
else return j;
} pa f[N], g[N];
int sze[N];
inline void dfs_tree(int x, int fa = , int d = ) {
sze[x] = ;
for (int i=G.head[x]; i; i=G.nxt[i]) {
if(G.to[i] == fa) continue;
dfs_tree(G.to[i], x, d+);
sze[x] += sze[G.to[i]];
}
tem.clear();
int sons = ;
for (int i=G.head[x]; i; i=G.nxt[i]) {
if(G.to[i] == fa) continue;
tem.push_back(f[G.to[i]]); ++ sons;
}
sort(tem.begin(), tem.end(), cmp_hash);
ull hsh = 666623333ull;
for (int i=; i<tem.size(); ++i) hsh = (hsh << ) ^ ((hsh & tem[i].hash) << ) + (( * hsh ^ tem[i].hash) >> ) ^ (tem[i].hash << );
gs(); hsh = hsh ^ HA[sze[x]] + HB[sons];
f[x] = pa(hsh, sze[x]);
} inline pa deal(vector<int> r) {
int SZ = ;
for (int i=; i<r.size(); ++i) {
int nx = r[(i- + r.size()) % r.size()];
dfs_tree(r[i], nx);
SZ += sze[r[i]];
}
tem.clear();
for (int i=; i<r.size(); ++i) tem.push_back(f[r[i]]);
// debug_tem();
int fro = mininum();
ull hsh = 19260817ull;
for (int i=; i<tem.size(); ++i) {
int j = (i + fro) % tem.size();
hsh = (hsh << ) ^ ((hsh & tem[j].hash) >> ) + ( * hsh & tem[j].hash) ^ (( * tem[j].hash ^ hsh) << ) ^ (tem[j].hash + );
}
hsh = hsh ^ HA[SZ];
gs2();
pa ret = pa(hsh, SZ);
return ret;
} inline void sol() {
n = getint(); G.set(n); ans = fac[n]; fuckyou = ;
for (int i=; i<=n; ++i) {
p[i] = getint();
G.add(p[i], i);
} find_rings();
// debug_rings(); for (int i=; i<=rn; ++i) g[i] = deal(ring[i]); tem.clear();
for (int i=; i<=rn; ++i) tem.push_back(g[i]);
gs();
ans = 1ll * ans * pwr(fuckyou, mod-) % mod;
--ans; if(ans < ) ans += mod;
cout << ans << endl;
clear_rings();
} inline ull irand() {
ull t = ;
for (int i=; i<=; ++i) t = (t<<) + rand();
return t;
} int main() {
freopen("langue.in", "r", stdin);
freopen("langue.out", "w", stdout);
prepare();
for (int i=; i<=n+n; ++i) HA[i] = irand(), HB[i] = irand();
int T; T = getint();
while(T--) sol();
return ;
}
我们直接找哈希最大值作为起点也行（可能出题人卡了最小值23333）
# include <map>
# include <math.h>
# include <vector>
# include <stdio.h>
# include <assert.h>
# include <string.h>
# include <iostream>
# include <algorithm>
// # include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
const int M = 5e5 + , N = 2e5 + ;
const int mod = 1e9+; # define RG register
# define ST static inline int getint() {
int x = ; char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
while(isdigit(ch)) x = x * + ch - '', ch = getchar();
return x;
} int n, p[M], ans, fuckyou = ;
struct Graph {
int n, head[N], nxt[M], to[M], tot;
inline void set(int _n) {
n = _n; tot = ;
for (int i=; i<=n; ++i) head[i] = ;
}
inline void add(int u, int v) {
++tot; nxt[tot] = head[u]; head[u] = tot; to[tot] = v;
}
inline void adde(int u, int v) {
add(u, v), add(v, u);
}
}G; struct us {
int fa[N], n;
inline void set(int _n) {
n = _n; for (int i=; i<=n; ++i) fa[i] = i;
}
inline int getf(int x) {
return fa[x] == x ? x : fa[x] = getf(fa[x]);
}
inline void un(int fu, int fv) {
fa[fu] = fv;
}
}U; vector<int> ring[N]; int rn = ; namespace FACINV {
int fac[N], inv[N], Inv[N]; inline int pwr(int a, int b, int P = mod) {
int ret = ;
while(b) {
if(b&) ret = 1ll * ret * a % P;
a = 1ll * a * a % P;
b >>= ;
}
return ret;
} inline void prepare() {
fac[] = ; inv[] = ;
for (int i=; i<=; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i-] * i % mod;
inv[] = pwr(fac[], mod-);
for (int i=; i; --i) inv[i] = 1ll * inv[i+] * (i+) % mod;
for (int i=; i; --i) Inv[i+] = 1ll * inv[i+] * fac[i] % mod;
Inv[] = ;
} inline int gP(int x, int y) {
assert(x >= y);
return 1ll * fac[x] * inv[x-y] % mod;
} inline int gC(int x, int y) {
assert(x >= y);
return 1ll * fac[x] * inv[x-y] % mod * inv[y] % mod;
}
} using namespace FACINV; namespace SOLVE_RINGS {
bool inrings[N];
int c[N], cn = , deg[N];
bool vis[N];
inline void dfs_rings(int x) {
if(vis[x]) {
++rn; for (int i=cn; i; --i) ring[rn].push_back(c[i]);
return ;
}
c[++cn] = x; vis[x] = ;
for (int i=G.head[x]; i; i=G.nxt[i]) ++deg[x], dfs_rings(G.to[i]);
--cn;
} inline void find_rings() {
U.set(n);
for (int i=; i<=n; ++i) {
RG int fu = U.getf(p[i]), fv = U.getf(i);
if(fu == fv) inrings[i] = ;
else U.un(fu, fv);
}
for (int i=; i<=n; ++i) {
if(!inrings[i]) continue;
cn = ;
dfs_rings(i);
}
} inline void debug_rings() {
for (int i=; i<=rn; ++i) {
printf("num = %d\n ", i);
for (int j=; j<ring[i].size(); ++j)
cout << ring[i][j] << ' ';
cout << endl;
}
} inline void clear_rings() {
for (int i=; i<=rn; ++i) ring[i].clear();
for (int i=; i<=n; ++i) inrings[i] = vis[i] = deg[i] = ;
rn = ;
}
} using namespace SOLVE_RINGS; struct pa {
ull hash; int sz;
pa() {}
pa(ull hash, int sz) : hash(hash), sz(sz) {}
};
ull HA[M], HB[M]; vector<pa> tem;
inline void debug_tem() {
for (int i=; i<tem.size(); ++i)
printf("hash = %lld, size = %d\n", tem[i].hash, tem[i].sz);
} inline bool cmp_hash(pa a, pa b) {
return a.hash < b.hash;
} inline void gs(bool flag) {
if(flag) sort(tem.begin(), tem.end(), cmp_hash);
for (int i=, j, t; i<tem.size(); i=j) {
j = i; while(j<tem.size() && tem[j].hash == tem[i].hash) ++j;
fuckyou = 1ll * fuckyou * fac[j-i] % mod;
}
} inline void gs2() {
int sz = tem.size();
for (int i=; i*i<=sz; ++i) {
if(sz % i == ) {
bool gg = ;
int d = sz/i;
for (int j=; j<sz; ++j) {
if(tem[j].hash != tem[(j-i+sz) % sz].hash) {
gg = ;
break;
}
}
if(!gg) {
fuckyou = 1ll * fuckyou * d % mod;
return ;
}
}
}
for (int i=sqrt(sz); i; --i) {
if(sz % i == ) {
bool gg = ;
int d = i;
for (int j=; j<sz; ++j) {
if(tem[j].hash != tem[(j-sz/i+sz) % sz].hash) {
gg = ;
break;
}
}
if(!gg) {
fuckyou = 1ll * fuckyou * d % mod;
return ;
}
}
}
return ;
} inline int mininum() {
ull mi = tem[].hash; int id = ;
for (int i=; i<tem.size(); ++i)
if(tem[i].hash > mi) mi = tem[i].hash, id = i;
return id;
} pa f[N], g[N];
int sze[N];
inline void dfs_tree(int x, int fa = , int d = ) {
sze[x] = ;
for (int i=G.head[x]; i; i=G.nxt[i]) {
if(G.to[i] == fa) continue;
dfs_tree(G.to[i], x, d+);
sze[x] += sze[G.to[i]];
}
tem.clear();
int sons = ;
for (int i=G.head[x]; i; i=G.nxt[i]) {
if(G.to[i] == fa) continue;
tem.push_back(f[G.to[i]]); ++ sons;
}
sort(tem.begin(), tem.end(), cmp_hash);
ull hsh = 666623333ull;
for (int i=; i<tem.size(); ++i) hsh = (hsh << ) ^ ((hsh & tem[i].hash) << ) + (( * hsh ^ tem[i].hash) >> ) ^ (tem[i].hash << );
gs(); hsh = hsh ^ HA[sze[x]] + HB[sons];
f[x] = pa(hsh, sze[x]);
} inline pa deal(vector<int> r) {
int SZ = ;
for (int i=; i<r.size(); ++i) {
int nx = r[(i- + r.size()) % r.size()];
dfs_tree(r[i], nx);
SZ += sze[r[i]];
}
tem.clear();
for (int i=; i<r.size(); ++i) tem.push_back(f[r[i]]);
// debug_tem();
int fro = mininum();
ull hsh = 19260817ull;
for (int i=; i<tem.size(); ++i) {
int j = (i + fro) % tem.size();
hsh = (hsh << ) ^ ((hsh & tem[j].hash) >> ) + ( * hsh & tem[j].hash) ^ (( * tem[j].hash ^ hsh) << ) ^ (tem[j].hash + );
}
hsh = hsh ^ HA[SZ];
gs2();
pa ret = pa(hsh, SZ);
return ret;
} inline void sol() {
n = getint(); G.set(n); ans = fac[n]; fuckyou = ;
for (int i=; i<=n; ++i) {
p[i] = getint();
G.add(p[i], i);
} find_rings();
// debug_rings(); for (int i=; i<=rn; ++i) g[i] = deal(ring[i]); tem.clear();
for (int i=; i<=rn; ++i) tem.push_back(g[i]);
gs();
ans = 1ll * ans * pwr(fuckyou, mod-) % mod;
--ans; if(ans < ) ans += mod;
cout << ans << endl;
clear_rings();
} inline ull irand() {
ull t = ;
for (int i=; i<=; ++i) t = (t<<) + rand();
return t;
} int main() {
freopen("langue.in", "r", stdin);
freopen("langue.out", "w", stdout);
prepare();
for (int i=; i<=n+n; ++i) HA[i] = irand(), HB[i] = irand();
int T; T = getint();
while(T--) sol();
return ;
}
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