P1099 [NOIP2007 提高组] 树网的核 （树的直径）

题目的意思就是在直径上找一段距离不超过s的路径，使该路径的偏心距最小。

求出直径之后，显然我们可以用双指针扫描一段合法路径。设u1,u2...ut是直径上的点，d[ui]表示从ui出发能到达的最远距离（除直径），那么该路径的偏心距的表达式就是max（max{d[uk]},dist(u1,ui),dist(uj,ut)），其中i<=k<=j；根据直径的最长性，max{d[uk]}中k的取值可以变为1<=k<=t,因为d[ux](1<=x<=i)一定比dist(u1,ui)要小，这是根据直径的最长性可以推导的，j-t的那部分也同理。所以我们只需要用一个定值记录max{d[uk]}(1<=k<=t)就行了，也就是代码中的maxf。

最后要求最小偏心距，对于每段合法路径的偏心距取min就行了。复杂度O(n)。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N=500005;
 4 int to[N<<1],nxt[N<<1],edge[N<<1],head[N],tot;
 5 int n,s,t,p,q;
 6 int d[N],pre[N],a[N],b[N],f[N],sum[N];
 7 bool v[N];
 8
 9 void add(int x,int y,int z){
10     nxt[++tot]=head[x];
11     head[x]=tot;
12     to[tot]=y;
13     edge[tot]=z;
14 }
15
16 void dfs1(int u,int f){
17     if(d[u]>d[p]) p=u;
18     for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
19         int v=to[i];
20         if(v==f) continue;
21         d[v]=d[u]+edge[i];
22         dfs1(v,u);
23     }
24 }
25
26 void dfs2(int u,int f){
27     if(d[u]>d[q]) q=u;
28     for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
29         int v=to[i];
30         if(v==f) continue;
31         d[v]=d[u]+edge[i];
32         pre[v]=i;
33         dfs2(v,u);
34     }
35 }
36
37 void dfs(int x){//求从x向外所能到达的最远距离
38     v[x]=true;
39     for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
40         int y=to[i];
41         if(v[y]) continue;
42         dfs(y);
43         f[x]=max(f[x],f[y]+edge[i]);
44     }
45 }
46
47 int main(){
48     cin>>n>>s;
49     tot=1;
50     for(int i=1;i<n;i++){
51         int x,y,z;
52         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
53         add(x,y,z);add(y,x,z);
54     }
55     dfs1(1,0);
56     dfs2(p,0);
57     while(q!=p){
58         a[++t]=q;//存直径上的点
59         b[t+1]=edge[pre[q]];//存边权
60         q=to[pre[q]^1];
61     }
62     a[++t]=p;
63     for(int i=1;i<=t;i++) v[a[i]]=true;
64     int maxf=0;
65     for(int i=1;i<=t;i++){
66         dfs(a[i]);
67         maxf=max(maxf,f[a[i]]);
68         sum[i]=sum[i-1]+b[i];
69     }
70     int ans=1<<30;
71     for(int i=1,j=1;i<=t;i++){//双指针扫描
72         while(j<t&&sum[j+1]-sum[i]<=s) j++;
73         ans=min(ans,max(maxf,max(sum[i],sum[t]-sum[j])));
74     }
75     cout<<ans<<endl;
76 }