hiho_1087_哈密顿环

题目

在一个有向图上，从一点A出发，经过所有除A的顶点一次且仅经过一次，最后到达起始点A，所形成的路径为哈密顿环。两个哈密顿环不同，当且仅当路径上的任意一个顶点P的下一个顶点不同。 
    给出一个顶点数目为 <= 12, 边的数目 <= 200(有可能有重边）的有向图的所有可能的哈密顿环的总数。

分析

哈密顿环经过所有的顶点，因此可以从任何一个顶点出发（在程序中就选择起始点为节点0）；如果两个顶点之间有重边，那么这些重边对于哈密顿环是等价的，因此在构建图的时候，要去重边。 
    使用深度优先搜索可以求出所有哈密顿环的总数，但是估算一个复杂度： 假设每个顶点都连接其他10个顶点，那么深度优先搜索复杂度约 10^10，不能接受。因此可以考虑使用记忆化搜索结合状态压缩： 
    1、状态用两个维度表示：（1）经过路径（从某个点开始到达节点0）上所覆盖的点；（2）经过的路径的起始点。 
    2、最多一共12个点，可以用一个整数的低12个比特表示经过的路径中这12个点是否被经过。因此使用 dp[status_to_visit][node] 表示从节点node开始，经过的节点的位图为 status_to_visit ，最终到达节点0所有不同的路径的总数。 
    利用记忆化深度优先搜索，求出最终的结果. 
    明确状态很重要，计算清楚边界状态很重要！ 
    明确状态很重要，计算清楚边界状态很重要！ 
    明确状态很重要，计算清楚边界状态很重要！

实现

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>
#include<list>
#include<string>
#include<string.h>
#include<set>
using namespace std;
int dp[8200][13];
//dp[status][node] 表示从node出发,最终到达点0，遍历的点的状态形成 status 时可以走的路径数目
bool connected[13][13];
struct Edge{
	int to;
	int next;
};
Edge gEdges[220];
int gEdgeIndex;
int gHead[13];
bool gVisited[13];
void InsertEdge(int u, int v){
	if (connected[u][v]) //如果两个节点A和B之间有多条边直接从A连接到B，则只记录一次
		return;
	connected[u][v] = true;
	int e = gEdgeIndex++;
	gEdges[e].to = v;
	gEdges[e].next = gHead[u];
	gHead[u] = e;
}

void Init(){
	gEdgeIndex = 0;
	memset(gEdges, -1, sizeof(gEdges));
	memset(gHead, -1, sizeof(gHead));
	memset(dp, -1, sizeof(dp));
	memset(connected, false, sizeof(connected));
	memset(gVisited, false, sizeof(gVisited));
}

//用记忆化搜索实现 动态规划
//从node开始，经过的各个节点的位图为 status_to_visit，status_to_visit 中的各个节点经过
//且只经过一次，最终到达节点0. 所有可能的路径总数
int Dfs(int status_to_visit, int node){
	if (dp[status_to_visit][node] != -1)
		return dp[status_to_visit][node];

	//当前节点之前被访问过一次
	if ((status_to_visit & (1 << node)) == 0)
		return dp[status_to_visit][node] = 0;

	int result = 0;
	for (int e = gHead[node]; e != -1; e = gEdges[e].next){
		int v = gEdges[e].to;
		int new_status = status_to_visit & (~(1 << node));
		result += Dfs(new_status, v);
	}
	return dp[status_to_visit][node] = result;
}

int main(){
	int n, m, u, v;
	Init();
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 0; i < m; i++){
		scanf("%d %d", &u, &v);
		InsertEdge(u - 1, v - 1);
	}
	//初始状态，从0节点开始，最终到达节点0. status_to_visit = 0 是应为要从0开始到达0，
	//在开始的时候，位图为 111111，递归到下一层时为 111110.到最后再到达0时候的status_to_visit 为 000000
	dp[0][0] = 1;
	int result = Dfs((1 << n) - 1, 0);
	printf("%d\n", result);
	return 0;
}