Johnson 全源负权最短路径算法详解

Floyd-Warshall算法可以求解出图内任意两点的最短路径，适用于稠密图，但时间复杂度为 \(O(n³)\)；Dijkstra算法求解单源最短路径的时间复杂度为 \(O(m + n log n)\)，对每个节点都做一次，也可以达成全源最短路径，但是这个方法仅适用于非负权边图。

Johnson 算法被设计来解决此问题，其支持负权边（当然不能有负权环）。综合两个算法的优势，时间复杂度 \(O(nm + n² log n)\)，在稀疏图中显著优于 Floyd-Warshall，结合了 Dijkstra 的高效性与 Bellman-Ford 的灵活性。

1 添加虚拟节点

• 操作：在原始图 \(G\) 中添加一个虚拟节点 \(s\)，并添加从 \(s\) 到所有原节点的边，权重为0。
• 目的：为后续计算势能函数做准备。

2 计算势能函数 \(h(v)\)

• 步骤：
  1. 使用 Bellman-Ford 算法 计算从 \(s\) 到所有原节点的最短路径，结果记为 \(h(v)\)。
  2. 若检测到负权环，算法终止（此时原图无有效最短路径）。

3 调整边权为非负值

• 公式：对原图中每条边 \((u, v)\)，调整权重为：
  \[w'(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)
  \]
• 关键性质：经过这样调整，调整后所有新的边权重 \(w'(u, v)\) 均为非负。且满足“原图的最短路同样是新图的最短路”

4 运行Dijkstra算法

• 操作：对调整后的图，为每个节点 \(u\) 运行一次Dijkstra算法，得到最短路径 \(d'(u, v)\)。

5 还原原始最短路径

• 公式：原始图中 \(u\) 到 \(v\) 的最短路径为：
  \[d(u, v) = d'(u, v) - h(u) + h(v)
  \]

为什么是对的？

1 边权调整的非负性

\(h\) 是虚拟点到节点的距离，根据 Bellman-Ford 的最短路径性质，对任意边 \((u, v)\) 有：

\[h(v) \leq h(u) + w(u, v)
\]

移项得：

\[w(u, v) + h(u) - h(v) \geq 0
\]

因此，调整后的权重 \(w'(u, v)\) 非负，Dijkstra算法可正确运行。

2 最短路径的等价性

设原图中一条路径 \(p = v₀ → v₁ → ... → vₖ\) 的权重和为：

\[W(p) = \sum_{i=0}^{k-1} w(v_i, v_{i+1})
\]

调整后的权重和为：

\[W'(p) = \sum_{i=0}^{k-1} [w(v_i, v_{i+1}) + h(v_i) - h(v_{i+1})] = W(p) + h(v₀) - h(v_k)
\]

路径上的 \(h\) 被抵消，由于 \(h(v₀) - h(v_k)\) 是常数，原图与新图上任意对应两个点之间的所有路径都只相差常数，那么原图最短路径仍然是新图最短路径。

时间复杂度分析

步骤	时间复杂度
Bellman-Ford	\(O(nm)\)
n 次 Dijkstra	\(O(n(m + n log n))\)
总时间	$O(nm + n² log n) $

• 适用场景：稀疏图时，时间接近 \(O(n² log n)\)，远优于Floyd-Warshall的 \(O(n³)\)。稠密图上差距缩小。