『Python底层原理』--Python整数为什么可以无限大

整数类型是编程中最常见的数据类型之一，但它的实现细节却鲜为人知。

与其他语言不同，Python 的整数是任意精度的，这意味着它们可以无限大，仅受限于内存。

这种特性使得 Python 在处理大整数时非常强大，但也增加了实现的复杂性。

今天，我们将探讨 Python 整数的内部实现，揭示其背后的奥秘。

1. 整数的内部表示

在大多数编程语言中，整数通常是固定精度的，例如 32 位或 64 位。

然而，Python 的整数是任意精度的，这意味着它们可以无限大，而不会出现溢出问题。

这种特性使得 Python在密码学、计算机代数等领域中非常实用。

# Python 中的整数可以非常大，而不会溢出
big_number = 1234567890123456789012345678901234567890
print(big_number * big_number)  # 输出一个更大的整数

这种任意精度的特性是如何实现的呢？

答案在于 Python 的整数实现方式。

Python 的整数是通过 CPython 的 PyLongObject 结构体实现的，

这个结构体定义了整数的存储方式，包括符号和数字。

PyLongObject的定义参考：Include/cpython/longintrepr.h 文件。

typedef struct _PyLongValue {
    uintptr_t lv_tag; /* Number of digits, sign and flags */
    digit ob_digit[1];
} _PyLongValue;

struct _longobject {
    PyObject_HEAD
    _PyLongValue long_value;
};

这里的_longobject就是PyLongObject，_PyLongValue中存储了数字的符号和个数。

Python 使用一种“大基数”表示法，而不是常见的十进制表示，

在 64 位平台上，基数为\(2^{30}\) ，而在 32 位平台上，基数为\(2^{15}\) 。

以64位平台（基数为$ 2^{30} $）为例，一个大数据1234567890123456789存储为[1038713109, 76039121, 1]。

def to_digits(n, base=2**30):
    digits = [n % base]

    n = n // base
    while n != 0:
        digits.append(n % base)
        n = n // base

    return digits

x = 1234567890123456789
print(f"整数 {x} 的底层数字表示: {to_digits(x)}")
# 整数 1234567890123456789 的底层数字表示: [1038713109, 76039121, 1]

如果要计算在32位平台上的表示，只要将传入to_digits的base参数改为2**15即可。

所以，任意大的整数，在Python内部都用用一个列表来存放，列表中的每个数值都小于$ 2^{30} \(或者\) 2^{15} $。

2. 整数的内存优化

Python 整数占用较多内存，即使是小整数也需要 28 字节（在 64 位平台上）。

为了优化内存使用，CPython 采取了一些巧妙的策略，尤其是在处理小整数时。

我本机上的Python3.12.4版本中，小于等于$ 2^{64} $的整数都是缓存的。

i = 2**64
j = 2**64
print(f"addr i: {id(i)}, addr j: {id(j)}")
print(f"i 和 j 是否相同: {i is j}")
# addr i: 2595289736288, addr j: 2595289736288
# i 和 j 是否相同: True

i = 2**65
j = 2**65
print(f"addr i: {id(i)}, addr j: {id(j)}")
print(f"i 和 j 是否相同: {i is j}")
# addr i: 2595289736432, addr j: 2595289736480
# i 和 j 是否相同: False

从上面的示例可以看出，当整数$ \le 2^{64} $时，i和j的内存地址是一样的；反之则不一样。

不过，虽然CPython对整数的实现已经很高效了，但是但在处理大量整数时，内存占用仍然是一个需要考虑的问题。

以下是一些优化建议：

1. 使用array模块或numpy：如果你需要存储大量同类型的整数，使用array模块或numpy会以更紧凑的方式存储数据。
2. 避免不必要的整数创建：尽量复用已有的整数对象，尤其是在循环中。
3. 使用生成器：如果只需要逐个处理整数，可以使用生成器而不是创建整个列表。

3. 整数的性能优化

CPython的整数实现不仅考虑了内存使用，还通过多种优化手段提高了运算性能。

1. 位操作优化：对于大整数，CPython使用多精度算术，多精度整数在内存中以数组形式存储，每个元素代表一定位数的数值。

关联的源码可参考：Include/cpython/longintrepr.h 和 Objects/longobject.c

1. 缓存机制优化：对于一些频繁出现的运算或者中间结果，会将其缓存起来。当再次需要这些结果时，直接从缓存中获取，而不是重新计算。

关联的源码可参考：Objects/longobject.c 和 Objects/object.c

1. 并行计算支持：对于大整数加法，会将计算任务分解成多个子任务，并行地在多个核心上执行。

关联的源码可参考：Python/thread_pthread.h、Python/thread_pthread.c 和 Objects/longobject.c

1. 代码生成优化：在将整数加法的 Python 代码转换为机器码时，生成更高效的指令序列。

关联的源码可参考：Python/compile.c和Python/ceval.c

4. 总结

Python 的整数实现是一个高效且灵活的任意精度整数系统。

通过CPython的源码，我们可以看到Python如何在内部处理大整数，以及如何通过优化策略提高性能和节省内存。

不过，虽然Python的整数实现已经非常强大，但在处理大量数据时，我们仍然可以通过一些技巧进一步优化内存使用和性能。