图论 III

本文主要讲解：网络流，二分图染色，2-sat，差分约束

定义与记号

基本定义

• 图：一张图 \(G\) 由若干个点和连接这些点的边构成。点的集合称为 点集 \(V\)，边的集合称为 边集 \(E\)，记 \(G = (V, E)\)。
• 阶：图 \(G\) 的点数 \(|V|\) 称为 阶，记作 \(|G|\)。
• 无向图：若 \(e\in E\) 没有方向，则 \(G\) 称为 无向图。无向图的边记作 \(e = (u, v)\)，\(u, v\) 之间无序。
• 有向图：若 \(e\in E\) 有方向，则 \(G\) 称为 有向图。有向图的边记作 \(e = u\to v\) 或 \(e = (u, v)\)，\(u, v\) 之间有序。无向边 \((u, v)\) 可视为两条有向边 \(u\to v\) 和 \(v\to u\)。
• 重边：端点和方向（有向图）相同的边称为 重边，当且仅当对于两条边 \(e_1=(u,x),e_2=(u,y)\) 中 \(x=y\)。
• 自环：连接相同点的边称为 自环，当且仅当 \((u,v)\) 中 \(u=v\)。

相邻

• 相邻：在无向图中，称 \(u, v\) 相邻 当且仅当存在 \(e = (u, v)\)。
• 邻域：在无向图中，点 \(u\) 的 邻域 为所有与之相邻的点的集合，记作 \(N(u)\)。
• 邻边：在无向图中，与 \(u\) 相连的边 \((u, v)\) 称为 \(u\) 的 邻边。
• 出边 / 入边：在有向图中，从 \(u\) 出发的边 \(u\to v\) 称为 \(u\) 的 出边，到达 \(u\) 的边 \(v\to u\) 称为 \(u\) 的 入边。
• 度数：一个点的 度数 为与之关联的边的数量，记作 \(d(u)\)，\(d(u) = \sum_{e\in E} ([u = e_u] + [u = e_v])\)。点的自环对其度数产生 \(2\) 的贡献。
• 出度 / 入度：在有向图中，从 \(u\) 出发的边数称为 \(u\) 的 出度，记作 \(d ^ +(u)\)；到达 \(u\) 的边数称为 \(u\) 的 入度，记作 \(d ^ -(u)\)。

路径

• 途径：连接一串相邻结点的序列称为 途径，用点序列 \(v_{0..k}\) 和边序列 \(e_{1..k}\) 描述，其中 \(e_i = (v_{i - 1}, v_i)\)。常写为 \(v_0\to v_1\to \cdots \to v_k\)。
• 迹：不经过重复边的途径称为 迹。
• 回路：\(v_0 = v_k\) 的迹称为 回路。
• 路径：不经过重复点的迹称为 路径，也称 简单路径。不经过重复点比不经过重复边强，所以不经过重复点的途径也是路径。注意题目中的简单路径可能指迹。
• 环：除 \(v_0 = v_k\) 外所有点互不相同的途径称为 环，也称 圈 或 简单环。

连通性

• 连通：对于无向图的两点 \(u, v\)，若存在途径使得 \(v_0 = u\) 且 \(v_k = v\)，则称 \(u, v\) 连通。
• 弱连通：对于有向图的两点 \(u, v\)，若将有向边改为无向边后 \(u, v\) 连通，则称 \(u, v\) 弱连通。
• 连通图：任意两点连通的无向图称为 连通图。
• 弱连通图：任意两点弱连通的有向图称为 弱连通图。
• 可达：对于有向图的两点 \(u, v\)，若存在途径使得 \(v_0 = u\) 且 \(v_k = v\)，则称 \(u\) 可达 \(v\)，记作 \(u \rightsquigarrow v\)。
• 关于点双连通 / 边双连通 / 强连通，见对应章节。

特殊图

• 简单图：不含重边和自环的图称为 简单图。
• 基图：将有向图的有向边替换为无向边得到的图称为该有向图的 基图。
• 有向无环图：不含环的有向图称为 有向无环图，简称 DAG（Directed Acyclic Graph）。
• 完全图：任意不同的两点之间恰有一条边的无向简单图称为 完全图。\(n\) 阶完全图记作 \(K_n\)。
• 树：不含环的无向连通图称为 树，树上度为 \(1\) 的点称为 叶子。树是简单图，满足 \(|V| = |E| + 1\)。若干棵（包括一棵）树组成的连通块称为 森林。相关知识点见 “树论”。
• 稀疏图 / 稠密图： \(|E|\) 远小于 \(|V| ^ 2\) 的图称为 稀疏图，\(|E|\) 接近 \(|V| ^ 2\) 的图称为 稠密图。用于讨论时间复杂度为 \(\mathcal{O}(|E|)\) 和 \(\mathcal{O}(|V| ^ 2)\) 的算法。

子图

• 子图：满足 \(V'\subseteq V\) 且 \(E'\subseteq E\) 的图 \(G' = (V', E')\) 称为 \(G = (V, E)\) 的 子图，记作 \(G'\subseteq G\)。要求 \(E'\) 所有边的两端均在 \(V'\) 中。
• 导出子图：选择若干个点以及两端都在该点集的所有边构成的子图称为该图的 导出子图。导出子图的形态仅由选择的点集 \(V'\) 决定，记作 \(G[V']\)。
• 生成子图：\(|V'| = |V|\) 的子图称为 生成子图。
• 极大子图（分量）：在子图满足某性质的前提下，子图 \(G'\) 称为 极大 的，当且仅当不存在同样满足该性质的子图 \(G''\) 且 \(G'\subsetneq G''\subseteq G\)。\(G'\) 称为满足该性质的 分量。例如，极大的连通的子图称为原图的连通分量，也就是我们熟知的连通块。

约定

• 记 \(n\) 表示点集大小 \(|V|\)，\(m\) 表示边集大小 \(|E|\)。

1. 2-SAT

前置：强联通分量(Tarjan)、拓扑序、缩点。

1.1 定义

给出 \(n\) 个变量，每个变量有一个取值集合，每个集合有两个元素 \({a_i,b_i}\)。已知若干个条件，表示 \(c_i\) 和 \(c_j\) 矛盾（即集合 \(i\) 选择 \(c_i\) 则集合 \(j\) 不能选择 \(c_j\)）。

我们希望给每个变量赋值，判断是否存在一组解使得没有产生冲突。

1.2 解的存在性

我们通常建图后使用强联通分量解决 2-SAT 问题。

具体的，假设我们要处理条件 \([a_i,a_j]\)，即集合 \(i\) 选择 \(a_i\) 则集合 \(j\) 不能选择 \(a_j\)。

我们建两条边：\((a_i,b_j)\) 和 \((a_j,b_i)\)，含义为前者满足后者就必须满足。

其他条件用类似的方法处理建图。

之后我们求 scc。如果有一个集合的 \(a_i,b_i\) 在用一个 scc 里，其含义为如果选了 \(a_i\) 就必须选 \(b_i\)，这肯定是无解的。否则就存在合法解。

1.3 构造合法解

我们按照图中拓扑序定向，如果 \(a_i\) 在 \(b_i\) 前面，那么取 \(a_i\)，否则为 \(b_i\)。然而并不需要求一遍拓扑序，在 Tarjan 算法中我们维护的栈就是一个天然的拓扑序，所以求得的 scc 编号即为反拓扑序。

1.4 例题

1.4.1 P5782 [POI 2001] 和平委员会

题意

有 \(n(n\le8000)\) 个党派，每个党派有两个代表。有 \(m(m\le20000)\) 个代表之间的双向厌恶关系。

现在要成立一个委员会，要求每个党派恰好有一个代表在会中，且没有两个代表是互相厌恶的。构造合法解。