poj 2533 Longest Ordered Subsequence 最长递增子序列

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题目链接：poj 2533 Longest Ordered Subsequence 最长递增子序列

使用$len[i]$表示序列中所有长度为$i$的递增子序列中最小的第$i$个数的值为$len[i]$。对于序列的第j个数$arr[j]$，在$len$中二分查找，找到最后一个小于$arr[j]$的数$len[k]$，如果$len[k]$是序列$len$中最后的一个数，那么在其尾部添加一个数$arr[j]$，否则另$len[k+1]=arr[j]$，直到遍历完$arr$。时间复杂度为O(nlogn)。

代码如下：

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include  <vector>
 #define     MAXN 1010
 using namespace std;
 int arr[MAXN];
 int n;
 int bs(vector<int> &arr,int num)
 {
     int b = , e = arr.size()-;
     int mid;
     while( b <= e )
     {
         mid = (b+e)/;
         if( arr[mid] <= num )
         {
             b = mid+;
         }
         else
         {
             e = mid-;
         }
     }
     return b;
 }
 int solve()
 {
     if( n ==  )
     {
         return ;
     }
     vector<int> len;
     len.push_back(arr[]);
     for( int i =  ; i < n ; i++ )
     {
         if( len[len.size()-] < arr[i])
         {
             len.push_back(arr[i]);
         }
         else
         {
             len[bs(len, arr[i])] = arr[i];
         }
     }
     return len.size();
 }
 int main(int argc, char *argv[])
 {
     while( scanf("%d", &n) != EOF )
     {
         for( int i =  ; i < n ; i++ )
         {
             scanf("%d", &arr[i]);
         }
         printf("%d\n", solve());
     }
 }

同样还有一种$O(n^2)$的动态规划算法。使用$dp[i]$表示到第$i$个数最长的递增子序列的长度。每次用j从0到$i-1$遍历数组，如果发现arr[j]<arr[i]，则说明其长度可以加1，最终取最大的长度作为dp[i]，即：

\begin{equation}
dp[i] = min(dp[j])+1,(j<i,arr[j]<arr[i])
\end{equation}

代码如下：

 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #define     MAXN 1010
 using namespace std;
 int dp[MAXN];
 int arr[MAXN];
 int n;
 int solve()
 {
     if( n ==  )
     {
         return ;
     }
     memset(dp, , sizeof(dp));
     dp[] = ;
     int res = ;
     for( int i =  ; i < n ; i++ )
     {
         int tmp = ;
         for( int j =  ; j < i ; j++ )
         {
             if( arr[i] > arr[j] )
             {
                 tmp = max(tmp, dp[j]);
             }
         }
         dp[i] = tmp+;
         res = max(res, dp[i]);
     }
     return res;
 }
 int main(int argc, char *argv[])
 {
     while(scanf("%d", &n) != EOF)
     {
         for( int i =  ; i < n ; i++ )
         {
             scanf("%d", &arr[i]);
         }
         printf("%d\n",solve());
     }
 }