数理方程：Laplace变换 & 留数（更新中）

更新：25 APR 2016

Laplace变换

设函数\(f(t)\)在\(t>0\)时有定义，积分

\(F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \qquad (s\in \mathbb{C})\)

若在s的某一域内收敛，则称此映射为Laplace变换，记为

\(F(s)=\mathscr{L}[f(t)],\qquad f(t)=\mathscr{L}^{-1}[F(s)]\)

实际上，\(f(t)\)的Laplace变换就是\(f(t)u(t)e^{-\beta t} (\beta>0)\)取Fourier变换。

 

Laplace变换性质

1. 线性

2. 微分性

\(\mathscr{L}[f’(t)]=s\mathscr{L}[f(t)]-f(0)\)

\(\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^n\mathscr{L}[f(t)]-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f’(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)\)

3. 积分性

\(\mathscr{L}\left[\int_0^tf(t)dt\right]=\dfrac{1}{s}\mathscr{L}[f(t)]\)

4. 位移性质

5. 延迟性质

6. 相似性质

7. 初值定理

8. 终值定理

 

Laplace逆变换

利用Fourier变换可以得出

\(f(t)=\dfrac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{\beta-\mathrm{i}\omega}^{\beta+\mathrm{i}\omega}F(s)e^{st}ds, t>0\)

积分成为Laplace反演积分。求此反演积分可以使用留数来计算：

若\(s_1, s_2, …, s_n\)是函数\(F(s)\)的所有奇点，且当\(s \rightarrow \infty\)时\(F(s) \rightarrow 0\)，则

\(f(t)=\dfrac{1}{2\pi \mathrm{i}}\int_{\beta-\mathrm{i}\omega}^{\beta+\mathrm{i}\omega}F(s)e^{st}ds=\sum\limits_{k=1}^{n}\underset{s=s_k}{\operatorname{Res}}[F(s)e^{st}]\)

 

求Laplace变换的方法-留数