母函数入门笔记（施工中…

定义：对于一个数列 $a_i$ ，它的母函数（即生成函数）为 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_i*x^i$

为了对这个 $G(x)$ 准确求值，我们设 $-1<x<1\&x\neq0$

举一个简单的例子

例1

对于数列 $a_i=1$

他的生成函数为 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^i$ ，那么应用一下等比数列求和公式

$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^i=a_1*\frac{1-x^n}{1-x}$

这里由于 $-1<x<1\&x\neq0$

所以当 $n\to\infty$ 时 $x^n\to0$

那么 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^i=a_1*\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{1}{1-x}$

例2

对于数列 $a_i=b^i$

生成函数 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}b^i*x^i$

就是上面那个的比例系数放大到b

那么就是 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}b^i*x^i=\frac{1}{1-bx}$

例3

对于数列 $a_i=i\%2$

生成函数 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}$

就是比例系数放大到 $x^2$

可以得出 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}=\frac{1}{1-x^2}$

类比可以得到 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{ki}=\frac{1}{1-x^k}$

例4

然后是一个很鬼的

对于数列 $a_i=i+1$ 求生成函数 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)x^{i}$

我们考虑这个东西是在无限定义下的

所以 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)x^{i}$ 等价于 $G(x)=(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^2=\frac{1}{(1-x)^2}$

同时可以扩展到

$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\begin{pmatrix}i+m-1\\m-1\end{pmatrix}x^{i}=\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{1}{1-x})^m$

例5

然后是一个稍微麻烦点的

对于数列 $a_i=i^2$ 求生成函数

然后为了把这个东西化简成我们知道的。。就把它用导数公式乱套套

$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}i^2x^i=(\sum_{i=0}^{\infty}nx^n)'*x$

$=((\sum_{i=0}^{\infty}(n+1)x^n)*x)'*x=(\frac{1}{(1-x)^2}*x)'*x=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$

一个实例

~~找规律超快的~~

我们分四个水果的情况求下生成函数

$G_A(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}=\frac{1}{1-x^2}$

$G_B(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{5i}=\frac{1}{1-x^5}$

$G_C(x)=1+x+x^2+x^3+x^4$

$G_D(x)=1+x$

然后四个东西乘起来

$G(x)=\frac{1}{1-x^2}*\frac{1}{1-x^5}*(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1+x)$

~~然后做完了~~

为了拯救大家的工作量我们打开mathematica

那么源问题答案就是 $f_n=n+1$

相似例题：BZOJ3028:食物

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