母函数入门笔记（施工中…

定义：对于一个数列 $a_i$ ，它的母函数（即生成函数）为 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_i*x^i$

为了对这个 $G(x)$ 准确求值，我们设 $-1<x<1\&x\neq0$

举一个简单的例子

例1

对于数列 $a_i=1$

他的生成函数为 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^i$ ，那么应用一下等比数列求和公式

$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^i=a_1*\frac{1-x^n}{1-x}$

这里由于 $-1<x<1\&x\neq0$

所以当 $n\to\infty$ 时 $x^n\to0$

那么 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^i=a_1*\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{1}{1-x}$

例2

对于数列 $a_i=b^i$

生成函数 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}b^i*x^i$

就是上面那个的比例系数放大到b

那么就是 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}b^i*x^i=\frac{1}{1-bx}$

例3

对于数列 $a_i=i\%2$

生成函数 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}$

就是比例系数放大到 $x^2$

可以得出 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}=\frac{1}{1-x^2}$

类比可以得到 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{ki}=\frac{1}{1-x^k}$

例4

然后是一个很鬼的

对于数列 $a_i=i+1$ 求生成函数 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)x^{i}$

我们考虑这个东西是在无限定义下的

所以 $G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)x^{i}$ 等价于 $G(x)=(\sum_{i=0}^{\infty}x^i)^2=\frac{1}{(1-x)^2}$

同时可以扩展到

$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\begin{pmatrix}i+m-1\\m-1\end{pmatrix}x^{i}=\sum_{i=0}^{\infty}(\frac{1}{1-x})^m$

例5

然后是一个稍微麻烦点的

对于数列 $a_i=i^2$ 求生成函数

然后为了把这个东西化简成我们知道的。。就把它用导数公式乱套套

$G(x)=\sum_{i=0}^{\infty}i^2x^i=(\sum_{i=0}^{\infty}nx^n)'*x$

$=((\sum_{i=0}^{\infty}(n+1)x^n)*x)'*x=(\frac{1}{(1-x)^2}*x)'*x=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$

一个实例

~~找规律超快的~~

我们分四个水果的情况求下生成函数

$G_A(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{2i}=\frac{1}{1-x^2}$

$G_B(x)=\sum_{i=0}^{\infty}x^{5i}=\frac{1}{1-x^5}$

$G_C(x)=1+x+x^2+x^3+x^4$

$G_D(x)=1+x$

然后四个东西乘起来

$G(x)=\frac{1}{1-x^2}*\frac{1}{1-x^5}*(1+x+x^2+x^3+x^4)*(1+x)$

~~然后做完了~~

为了拯救大家的工作量我们打开mathematica

那么源问题答案就是 $f_n=n+1$

相似例题：BZOJ3028:食物

母函数入门笔记（施工中…的更多相关文章

每天成长一点---WEB前端学习入门笔记
WEB前端学习入门笔记从今天开始,本人就要学习WEB前端了. 经过老师的建议,说到他每天都会记录下来新的知识点,每天都是在围绕着这些问题来度过,很有必要每天抽出半个小时来写一个知识总结,及时对一天工 ...
ES6入门笔记
ES6入门笔记 02 Let&Const.md 增加了块级作用域. 常量避免了变量提升 03 变量的解构赋值.md var [a, b, c] = [1, 2, 3]; var [[a,d] ...
[Java入门笔记] 面向对象编程基础（二）：方法详解
什么是方法? 简介在上一篇的blog中,我们知道了方法是类中的一个组成部分,是类或对象的行为特征的抽象. 无论是从语法和功能上来看,方法都有点类似与函数.但是,方法与传统的函数还是有着不同之处: 在 ...
React.js入门笔记
# React.js入门笔记核心提示这是本人学习react.js的第一篇入门笔记,估计也会是该系列涵盖内容最多的笔记,主要内容来自英文官方文档的快速上手部分和阮一峰博客教程.当然,还有我自己尝试的 ...
redis入门笔记(2)
redis入门笔记(2) 上篇文章介绍了redis的基本情况和支持的数据类型,本篇文章将介绍redis持久化.主从复制.简单的事务支持及发布订阅功能. 持久化 •redis是一个支持持久化的内存数据库 ...
redis入门笔记(1)
redis入门笔记(1) 1. Redis 简介 •Redis是一款开源的.高性能的键-值存储(key-value store).它常被称作是一款数据结构服务器(data structure serv ...
OpenGLES入门笔记四
原文参考地址:http://www.cnblogs.com/zilongshanren/archive/2011/08/08/2131019.html 一.编译Vertex Shaders和Fragm ...
OpenGLES入门笔记三
在入门笔记一中比较详细的介绍了顶点着色器和片面着色器. 在入门笔记二中讲解了简单的创建OpenGL场景流程的实现,但是如果在场景中渲染任何一种几何图形,还是需要入门笔记一中的知识:Vertex Sha ...
System Generator入门笔记
System Generator入门笔记 [CPLD/FPGA] 发布时间:2010-04-08 23:02:09 System Generator是Xilinx公司进行数字信号处理开发的一种设计 ...

随机推荐

Cocos2d-JS中JavaScript继承
JavaScript语言本身没有提供类,没有其它语言的类继承机制,它的继承是通过对象的原型实现的,但这不能满足Cocos2d-JS引擎的要求.由于Cocos2d-JS引擎是从Cocos2d-x演变而来 ...
iOS数据持久化-SQLite数据库使用详解
使用SQLite数据库创建数据库创建数据库过程需要3个步骤: 1.使用sqlite3_open函数打开数据库: 2.使用sqlite3_exec函数执行Create Table语句,创建数据库表: ...
AFNetworking2.4.1 解析
http://wenku.baidu.com/view/6ec734a84028915f814dc26d.html
杭电2034——人见人爱A-B
#include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; int main () { int a[110],b[ ...
《linux下sudo服务的使用》RHEL6
/bin/ 下放的二进制文件命令都是普通用户可以使用的 Sbin 下放的二进制文件命令都是超级用户root可以使用的普通用户也想使用Sbin下的文件可以通过sudo来实现: 默认普通用户是不可以 ...
《LDAP服务器的配置与客户端的测试》RHEL6——第一篇运维工程师必考
ldap这种原始的服务器搭建起来比较复杂,同时它也是CE必考的(客户端的搭建). 服务器端的配置: 1.安装openldap-servers软件包 2.查看ldap模板文件的存放位置: 3.拷贝lda ...
Centos(Linux) 根文件系统
/下面的文件 /boot:系统启动相关的文件:如内核,inittrd ,以及MBR grub /dev :设备文件: 块设备:随机访问,数据块如:USB 字符设备:线性访问,按字符为单位如:鼠标,按 ...
devpress控件属性说明表
XtraEditors 库中所有控件的公共功能全部都可以绑定数据: 全部都可以独立使用或用于由 Developer Express 提供的容器控件(XtraGrid.XtraVerticalGrid ...
Hadoop上路-04_HBase0.98.0入门
以下操作在Hadoop分布式集群基础上进行. 一.分布式环境搭建下载:)验证 3)修改%HBASE%/conf/hbase-env.sh 4)修改$HBASE_HOME/conf/hbase-sit ...
JS获取图片实际宽高及根据图片大小进行自适应
JS获取图片实际宽高,以及根据图片大小进行自适应 <img src="http://xxx.jpg" id="imgs" onload="ad ...

母函数入门笔记（施工中…

例1

例2

例3

例4

例5

一个实例

母函数入门笔记（施工中…的更多相关文章

随机推荐

热门专题