POJ 矩阵相乘 (随机化算法-舍伍德(Sherwood))

周三的算法课，主要讲了随机化算法，介绍了拉斯维加斯算法，简单的理解了为什么要用随机化算法，随机化算法有什么好处。

在处理8皇后问题的时候，穷举法是最费时的，回朔比穷举好点，而当数据量比较大的时候，如1000皇后问题，穷举的化有1000的1000次方，肯定超时，用随机化算法的思路，先随机的在棋盘上放一部分皇后，再来设计算法，会大大节省时间，使算法性能更加优良。

本篇介绍令一种随机化算法，舍伍德(Sherwood)算法。

题目：

Matrix Multiplication

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You are given three n × n matrices A, B and C. Does the equation A × B = C hold true?

Input：

The first line of input contains a positive integer n (n ≤ 500) followed by the the three matrices A, B and C respectively. Each matrix's description is a block of n × n integers.

It guarantees that the elements of A and B are less than 100 in absolute value and elements of C are less than 10,000,000 in absolute value.

Output：

Output "YES" if the equation holds true, otherwise "NO".

Sample Input

2
1 0
2 3
5 1
0 8
5 1
10 26
Sample Output

YES
Hint

Multiple inputs will be tested. So O(n3) algorithm will get TLE.
Source

POJ Monthly--2007.08.05, qzc

解题思路：

输入3个n*n的矩阵ABC，计算A*B=C是否成立，若是输出Yes，否则输出No。

正常情况，从A的第一行A[0][j]和B的第一列B[i][0]相乘，看是不是等于C[0][0]。依次遍历所有行所有列。判断是否相等，相等继续，不相等直接返回false。

而如果我们用随机化算法的思想，来解决这个问题的时候，随机化一行一列，row col来判断是否和C[row][col]相等。如果不相等，比如A*B=C不满足，false跳出。

        for(i=;i<=n;i++)
            temp+=A[row][i]*B[i][col];
        if(temp!=C[row][col])
                return ;

这种随机化算法和拉斯维加斯算法又有点不同，将算法执行的步骤长短，更偏向于一种概率事件，是一种概率算法。

 #include <time.h>
 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #define maxn 500
 int A[maxn][maxn];
 int B[maxn][maxn];
 int C[maxn][maxn];
 int n;

 void input(int c[maxn][maxn])
 {
     int i,j;
     for(i=;i<=n;i++){
         for(j=;j<=n;j++)
         scanf("%d",&c[i][j]);
     }
 }

 int compared()
 {
     int row,col;//随机行数，列数
     int k,i;
     for(k=;k<=;k++)
     {
         row=rand()%n+;
         col=rand()%n+;
         int temp=;
         for(i=;i<=n;i++)
             temp+=A[row][i]*B[i][col];
         if(temp!=C[row][col])
                 return ;
     }
     return ;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     srand(time(NULL));
     input(A);
     input(B);
     input(C);
     if(compared())
         printf("Yes");
          else
           printf("No");
 }

关于随机行数，列数的循环的次数，开小了，担心测不出最终结果，开大了影响效率，大家有没有一些好的建议，欢迎讨论，不当之处，恳请指正。

总结：

LV算法和Sherwood算法的区别，拉斯维加斯算法不一定能得到解，但一旦得到解一定正确，在N皇后问题中，随机放至皇后越来越多，得到正确解的概率越小，但是代码执行的时间也是大大缩小。而舍伍德算法作为一种概率算法，并不受收入数据的大小影响，但得到结果所花的时间，成为了一种概率事件。