【BZOJ】1027: [JSOI2007]合金（凸包+floyd）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1027

题意：$n$种材料，$m$种需求。每种材料有三个属性，给出三个属性的含量（和为1），问能否通过这$n$种材料合成$m$种需求的材料。（$n, m \le 500$）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)
#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)
#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define read(a) a=getint()
#define print(a) printf("%d", a)
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl
#define error(x) (!(x)?puts("error"):0)
#define rdm(x, i) for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next)
inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }

const double eps=1e-6;
int dcmp(double x) { return abs(x)<eps?0:(x<0?-1:1); }
struct ipt { double x, y; ipt(double _x=0, double _y=0) : x(_x), y(_y) {} };
bool operator== (ipt &a, ipt &b) { return dcmp(a.x-b.x)==0 && dcmp(a.y-b.y)==0; }
double icross(ipt &a, ipt &b, ipt &c) {
	static double x1, x2, y1, y2;
	x1=a.x-c.x; y1=a.y-c.y;
	x2=b.x-c.x; y2=b.y-c.y;
	return x1*y2-x2*y1;
}
double idot(ipt &a, ipt &b, ipt &c) {
	static double x1, x2, y1, y2;
	x1=a.x-c.x; y1=a.y-c.y;
	x2=b.x-c.x; y2=b.y-c.y;
	return x1*x2+y1*y2;
}
bool cmp(const ipt &a, const ipt &b) { return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x; }
void tu(ipt *p, ipt *s, int n, int &top) {
	sort(p, p+n, cmp);
	top=-1;
	rep(i, n) {
		while(top>0 && dcmp(icross(p[i], s[top], s[top-1]))>=0) --top;
		s[++top]=p[i];
	}
	static int k;
	k=top;
	for3(i, n-2, 0) {
		while(top>k && dcmp(icross(p[i], s[top], s[top-1]))>=0) --top;
		s[++top]=p[i];
	}
	if(n>1) --top;
	++top;
}
bool PonS(ipt &a, ipt &p1, ipt &p2) { if(a==p1 || a==p2) return true; return dcmp(icross(a, p1, p2))==0 && dcmp(idot(p1, p2, a))<0; }

const int N=505, oo=~0u>>2;
int d[N][N], n, m, ans=oo;
ipt t[N], a[N], b[N];
bool checktu() {
	rep(i, n) rep(j, m) if(dcmp(icross(b[j], a[i], a[i+1]))<0) return 0;
	return 1;
}
bool check(ipt &x, ipt &y) {
	rep(i, m) if(dcmp(icross(b[i], x, y))<0) return 0;
	return 1;
}
bool spj() {
	int flag;
	rep(i, n) { flag=1; rep(j, m) if(!(a[i]==b[j])) { flag=0; break; } if(flag) { puts("1"); return 1; } }
	rep(i, n) for1(j, i+1, n-1) {
		flag=1;
		rep(k, m) if(!PonS(b[k], a[i], a[j])) { flag=0; break; }
		if(flag) { puts("2"); return 1; }
	}
	return 0;
}

int main() {
	read(n); read(m); double tt;
	rep(i, n) scanf("%lf%lf%lf", &t[i].x, &t[i].y, &tt);
	rep(i, m) scanf("%lf%lf%lf", &b[i].x, &b[i].y, &tt);
	tu(t, a, n, n); a[n]=a[0];
	if(!checktu()) { puts("-1"); return 0; }
	if(spj()) return 0;
	rep(i, n) rep(j, n) d[i][j]=oo;
	rep(i, n) rep(j, n) if(i!=j) { if(check(a[i], a[j])) d[i][j]=1; else if(j>i) break; }
	rep(k, n) rep(i, n) rep(j, n) d[i][j]=min(d[i][j], d[i][k]+d[k][j]);
	rep(i, n) ans=min(ans, d[i][i]);
	printf("%d\n", ans<=2?-1:ans);
	return 0;
}

没special judge wa了一发好蛋疼...

首先这题大概和黑书上的差不多...由于知道任意两种材料就能得到第三种材料的含量，所以可以忽略第三种含量...

首先来看，如果有两种材料，那么能合成的材料一定在这个线段上，证明很简单...

假设材料A和B，要合成材料C，将他们材料的含量放到二维坐标系上（x轴为材料1，y轴为材料2）

假设用了a的A，则用了1-a的B，有

$$
\begin{align}
aX_A+(1-a)X_B & = X_C \\
aY_A+(1-a)Y_B & = Y_C \\
0<=a<=1 \\
\end{align}
$$

显然了吧...

然后考虑多个点，因为两两之间的点都是取得到的，那么这些两两之间的点又能连接起来，重复下去，显然最终可以取到的点是这个点集的凸包内的点..

//upd:wiki了一下...这个就是凸包的线性意义...

//即

$$S=\{\sum_{x_i \in X} t_ix_i | t_i \in [0, 1] \} $$

因此容易判断-1的情况（特判一个点取完所有和两个点的线段取完所有，要不然后边凸包会错...）

然后求最少的点形成凸包，很容易想到吧...我在课堂上也yy出来了...

凸包上的点如果所有该包围的点都在左边（右手方向），那么这两个点是可以连接与右手方向的剩余原凸包上的点形成凸包的...证明很简单...凸包上任意的点的子集都是凸包（当然空集除外..）...

然后我们对这些点对连边...找最小长度的环即可....如此弱的数据随便来floyd...