Java 高精度浮点数计算工具

说起编程中的高精度数值，我第一反应就是double类型了。的确，double阶码11位，尾数52位，几乎能应对任何苛刻的要求......然而，当我天真地尝试用double来算泰勒展开式的函数值，离散代数的狰狞性瞬间完全暴露眼前。

我不是数学出身，也并不关心那些奇异的函数形式。我只是想推导一个物理系统的冲击响应函数。那个函数没法求得解析解，我只好用皮卡迭代法求泰勒级数式。经过一番挣扎，级数通项终于确定了，但是函数的绘图却成了隐藏难题。

函数的形式：

\[f(x)={\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^n*2n}{2^n*(n!)^2}*x^{2n-2}}}
\]

函数形似一个衰减的正弦振荡，本应该长这样：

但是实际上泰勒级数绘制出来长这样：

甚至这样：

崩溃了，仔细检查原因，发现最后几项级数取值超过\(10^{300}\)，换言之double活生生撑爆了。。。

接下来的几天我在网上查找了半天提高浮点数长度（精度）的方法，但是收获甚微。python的numpy好似有float_128，但其实是80位扩展double。c语言倒是找到了诸如mpfr之类的4精度数计算包，但是这也是治标不治本。

由于我用java做科学计算的习惯（奇异癖好），我决定用java写一个任意精度浮点数计算工具（类）。

LFloat类（large float）原理：

由于电脑显然不能存储太长的数字，我决定用long数组存储浮点数的小数部分。并且，考虑到乘法的计算问题，如果两个long类型的整数直接相乘，最多会有接近64位（二进制）的得数由于long溢出而丢弃，从而达不到准确计算的目的。最后，我只能妥协，每一个long储存32位（二进制）小数部分。

这样的好处在于对于加减乘法，0-31位的进位部分会保存在31-63位处，从而方便后续处理。对于除法，我没有采用较为高效的方法，而只是朴素的逐位作差实现。

另一个难点是数字的输入与输出。由于精度变态，double输入显然不太合适（除了极个别数，一般的double数都是做了近似截断的，不会太准确）。为此只能输入String字符串，再自定义parse函数来读取、存储数字。对于显示，则采取读取数字的逆运算，经过一系列的2-10转换最终输出。

输入输出还有一个难点，即指数的转化。输入、输出的数字都由科学计数法表示，动辄“1E+1000”之类的天文数字。为了便于转化，所有数字输入时都先取log，求出阶码，再用exp函数算出小数部分的二进制数。

成果：

实现了任意指定精度的浮点数的运算，并且阶码有62位，最大能表示\(10^{10^{18}}\)这等天文数字！
浮点数运算近似符合IEEE 754标准，处理舍入方面直接截断，而没有向偶数取整（其实不太需要，感觉精度差了就多加几位精度呗~）。

一些测试，以及计算\(\pi\)的数值到400位：

代码：

见我的github页面，测试代码也在里面，注释较为详细。

结束语：

经过千辛万苦终于写成了较为高效的高精度浮点数计算代码，编写期间排除bug无数，希望这个工具对大家有所帮助。

p.s.如果有人发现了什么bug（一定有的），或者提出什么可以改进的地方，欢迎留言~