[loj3180]天桥

考虑将所有交点作为关键点来建图跑最短路，但图上的关键点数量最坏为$o(nm)$，需要优化

当$s=0$且$g=n-1$的部分分，有以下结论：

1.对于一段天桥$([l,r],y)$，不会从$(r,y)$向左移动到$(l,y)$，否则必然曾经过$(l,y')$，不如$(l,y')=>(l,y)$更优

2.对于一座天桥$([l,r],y)$，不会从竖直方向经过$(l',y)$，否则必然曾经过$(l,y')$，不如$(l,y')=>(l,y)=>(l',y)$更优

3.对于一座天桥$([l,r],y)$，不会从$(x,y)$向下移动，否则必然会再经过$(x',y)$或$(r,y')$，前者根据结论2一定不优，后者不如$(x,y)=>(r,y)=>(r,y')$更优

对于一座天桥$([l,r],y)$，其中$(x,y)$为关键点当且仅当$x=l$或$x=r$或其向上走经过的第一个交点为天桥端点，那么点数最多为$3m$，即解决了$s=0$且$t=n-1$的部分分

那么对于原题，先不妨假设$s<g$，那么对于一座天桥$([l,r],y)$，其要特殊考虑当且仅当$l<s$或$g<r$，以$l<s$为例：找到$s$左边/右边（包括$s$）第一个能上桥的点$a$和$b$（$h_{a,b}\ge y$），那么将整座桥拆成$([l,a],y)$，$([a,b],y)$和$([b,r],y)$即可

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define N 100005
  4 #define oo 1e15
  5 #define L (k<<1)
  6 #define R (L+1)
  7 #define mid (l+r>>1)
  8 #define pii pair<int,int>
  9 #define mp make_pair
 10 #define fi first
 11 #define se second
 12 struct ji{
 13     int nex,to,len;
 14 }edge[N*80];
 15 struct build{
 16     int x,h;
 17 }bu[N];
 18 struct bridge{
 19     int l,r,y;
 20     bool operator < (const bridge &k)const{
 21         return (y<k.y)||(y==k.y)&&(l<k.l);
 22     }
 23 }br[N*5];
 24 priority_queue<pair<long long,int> >q;
 25 map<pii,int>mat;
 26 vector<pii>v;
 27 int V,E,n,m,s,t,f[N<<2],head[N*20],vis[N*20];
 28 long long ans,d[N*20];
 29 bool cmp(pii x,pii y){
 30     return (x.se<y.se)||(x.se==y.se)&&(x.fi<y.fi);
 31 }
 32 void build(int k,int l,int r){
 33     if (l==r){
 34         f[k]=bu[l].h;
 35         return;
 36     }
 37     build(L,l,mid);
 38     build(R,mid+1,r);
 39     f[k]=max(f[L],f[R]);
 40 }
 41 int find1(int k,int l,int r,int x,int y,int z){
 42     if ((l>y)||(x>r)||(f[k]<z))return 0;
 43     if (l==r)return l;
 44     int a=find1(R,mid+1,r,x,y,z);
 45     if (a)return a;
 46     return find1(L,l,mid,x,y,z);
 47 }
 48 int find2(int k,int l,int r,int x,int y,int z){
 49     if ((l>y)||(x>r)||(f[k]<z))return 0;
 50     if (l==r)return l;
 51     int a=find2(L,l,mid,x,y,z);
 52     if (a)return a;
 53     return find2(R,mid+1,r,x,y,z);
 54 }
 55 void update(int k,int l,int r,int x,int y,int z){
 56     if ((l>y)||(x>r))return;
 57     if ((x<=l)&&(r<=y)){
 58         f[k]=max(f[k],z);
 59         return;
 60     }
 61     update(L,l,mid,x,y,z);
 62     update(R,mid+1,r,x,y,z);
 63 }
 64 int query(int k,int l,int r,int x){
 65     if (l==r)return f[k];
 66     if (x<=mid)return max(f[k],query(L,l,mid,x));
 67     return max(f[k],query(R,mid+1,r,x));
 68 }
 69 void add(int x,int y,int z){
 70     edge[E].nex=head[x];
 71     edge[E].to=y;
 72     edge[E].len=z;
 73     head[x]=E++;
 74 }
 75 void split(int k,int x){
 76     if ((x)&&(br[k].l<x)&&(x<br[k].r)){
 77         br[++m]=bridge{br[k].l,x,br[k].y};
 78         br[k].l=x;
 79     }
 80 }
 81 void split(){
 82     build(1,1,n);
 83     for(int i=1;i<=m;i++){
 84         int a,b;
 85         if (br[i].l<s){
 86             split(i,find1(1,1,n,1,s,br[i].y));
 87             split(i,find2(1,1,n,s,n,br[i].y));
 88         }
 89         if (t<br[i].r){
 90             split(i,find1(1,1,n,1,t,br[i].y));
 91             split(i,find2(1,1,n,t,n,br[i].y));
 92         }
 93     }
 94 }
 95 void build(){
 96     memset(head,-1,sizeof(head));
 97     sort(v.begin(),v.end());
 98     for(int i=0;i<v.size();i++)
 99         if ((!i)||(v[i-1]!=v[i]))mat[v[i]]=++V;
100     for(int i=0,j=0;i<v.size();i=++j)
101         for(;((j<v.size())&&(v[j].fi==v[j+1].fi));j++)
102             if (v[j].se!=v[j+1].se){
103                 add(mat[v[j]],mat[v[j+1]],v[j+1].se-v[j].se);
104                 add(mat[v[j+1]],mat[v[j]],v[j+1].se-v[j].se);
105             }
106     sort(v.begin(),v.end(),cmp);
107     for(int i=1,j=0;i<=m;i++){
108         while ((br[i].y!=v[j].se)||(br[i].l!=v[j].fi))j++;
109         for(;((br[i].y!=v[j].se)||(br[i].r!=v[j].fi));j++)
110             if (v[j].fi!=v[j+1].fi){
111                 add(mat[v[j]],mat[v[j+1]],bu[v[j+1].fi].x-bu[v[j].fi].x);
112                 add(mat[v[j+1]],mat[v[j]],bu[v[j+1].fi].x-bu[v[j].fi].x);
113             }
114     }
115 }
116 long long dij(int s,int t){
117     memset(vis,0,sizeof(vis));
118     for(int i=1;i<=V;i++)d[i]=oo;
119     d[s]=0;
120     q.push(mp(0,s));
121     while (!q.empty()){
122         int k=q.top().se;
123         q.pop();
124         if (vis[k])continue;
125         vis[k]=1;
126         for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)
127             if (d[edge[i].to]>d[k]+edge[i].len){
128                 d[edge[i].to]=d[k]+edge[i].len;
129                 q.push(mp(-d[edge[i].to],edge[i].to));
130             }
131     }
132     return d[t];
133 }
134 int main(){
135     scanf("%d%d",&n,&m);
136     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&bu[i].x,&bu[i].h);
137     for(int i=1;i<=m;i++){
138         scanf("%d%d%d",&br[i].l,&br[i].r,&br[i].y);
139         br[i].l++,br[i].r++;
140     }
141     scanf("%d%d",&s,&t);
142     s++,t++;
143     if (s>t)swap(s,t);
144     v.push_back(mp(s,0));
145     v.push_back(mp(t,0));
146     split();
147     sort(br+1,br+m+1);
148     memset(f,0,sizeof(f));
149     for(int i=1,j=1;i<=m;i++){
150         if (br[j].y<br[i].y)
151             for(;j<i;j++)update(1,1,n,br[j].l,br[j].r,br[j].y);
152         v.push_back(mp(br[i].l,br[i].y));
153         v.push_back(mp(br[i].r,br[i].y));
154         v.push_back(mp(br[i].l,query(1,1,n,br[i].l)));
155         v.push_back(mp(br[i].r,query(1,1,n,br[i].r)));
156     }
157     build();
158     ans=dij(mat[mp(s,0)],mat[mp(t,0)]);
159     if (ans==oo)ans=-1;
160     printf("%lld",ans);
161 }