21.10.18 test

可可大神出题，四款有趣的游戏推荐，第四个好玩/se

T1 loopers \(\color{green}{100}\)

考虑钦定 \(a_1,a_i\) 的位置，固定左边一坨，那么剩下的一坨的 \(\sum a_i\) 是一定的，记为 \(s\)，那么左边边界是 \(a_1\) 或 \(a_i\) 的概率是 \(\dfrac{a_1+a_i}{s}\)，另外，\(a_i\) 要有贡献一定要在 \(a_1\) 前面，那么其概率为 \(\dfrac{ai}{s}\)，所以有贡献的概率就是\(\dfrac{\frac{a_i}{s}}{\frac{a_1+ai}{s}}=\dfrac{a_i}{a_1+ai}\)，每个排列都是这样的，所以总的有贡献的概率就是 \(\dfrac{a_i}{a_1+ai}\)，也就是期望做出贡献的次数。\(1\) 号点比较特殊，期望次数是 \(1\)，所以总期望就是 \(\sum\limits_{i=2}^{n}\dfrac{a_i^2}{a_1+a_i}+a_1\)。

把左边的通分之后发现下面是总积，上面是左边的一坨连积乘上右边的一坨连积再乘 \(a_i^2\)，可以 \(O(n)\) 求出前缀积和后缀积，然后只用求一个逆元，时间复杂度 \(O(n+\log n)\)。

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define in read()
inline int read(){
	int p=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){p=p*10+c-'0';c=getchar();}
	return p*f;
}
const int N=1e7+5;
const int mod=1e9+7;
inline int qpow(int a,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
inline int inv(int x){return qpow(x,mod-2);}
int n,ans,a[N],t[N],prod[N],dorp[N];
signed main(){
	freopen("loopers.in","r",stdin);
	freopen("loopers.out","w",stdout);
	n=in,a[1]=in;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		a[i]=in,t[i]=(a[1]+a[i])%mod;
	prod[1]=dorp[n+1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		prod[i]=prod[i-1]*t[i]%mod;
	for(int i=n;i>=2;i--)
		dorp[i]=dorp[i+1]*t[i]%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		ans=(a[i]*a[i]%mod*prod[i-1]%mod*dorp[i+1]%mod+ans)%mod;
	ans=ans*inv(prod[n])%mod;
	ans=(ans+a[1])%mod;
	cout<<ans;
    return 0;
}

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T2 rewrite \(\color{red}{30}\)

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T3 pockets \(\color{red}{20}\)

区间加，区间判断是否相等。

自然想到线段树维护 hash，但是由于每个点的值需要对 \(p\) 取模，所以很难维护区间加和区间修改 hash，于是我就弃了，于是我们可以把原数组转化为差分数组，这样我们就只需要维护单点修改，这样就可以暴力维护 hash 了，但这样除了判断差分数组相等还要判断第一个数是否相等，可以维护一个 \(l\) 到 \(r\) 的区间和，只要区间和模上题目给出的 \(p\) 等于 \(0\)，我们就可以判断这两个数相等了。

所以只需要线段树维护区间和区间 hash，区间维护 hash 时要注意一个位置对应的基的次数。

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define in read()
inline int read(){
	int p=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){p=p*10+c-'0';c=getchar();}
	return p*f;
}
const int mod1=998244353;
const int mod2=1000000009;
const int base=131;
const int N=5e5+5;
int n,q,mod;
int A[N],a[N];
int basem1[N];
int basem2[N];
void getbasem(){
	basem1[0]=basem2[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		basem1[i]=basem1[i-1]*base%mod1,
		basem2[i]=basem2[i-1]*base%mod2;
}
int b1[N<<2],b2[N<<2],sum[N<<2];
void pushup(int l,int r,int p){
	int mid=(l+r)>>1;
	b1[p]=(b1[p<<1]*basem1[r-mid]%mod1+b1[p<<1|1])%mod1;
	b2[p]=(b2[p<<1]*basem2[r-mid]%mod2+b2[p<<1|1])%mod2;
	sum[p]=(sum[p<<1]+sum[p<<1|1])%mod;
}
void built(int l,int r,int p){
	if(l==r){b1[p]=b2[p]=sum[p]=a[l];return ;}
	int mid=(l+r)>>1;
	built(l,mid,p<<1);
	built(mid+1,r,p<<1|1);
	pushup(l,r,p);
}
void change(int l,int r,int p,int x,int d){
	if(l==r){
		a[l]=(a[l]+d)%mod;
		b1[p]=b2[p]=sum[p]=a[l];
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)change(l,mid,p<<1,x,d);
	else change(mid+1,r,p<<1|1,x,d);
	pushup(l,r,p);
}
int query1(int l,int r,int p,int ql,int qr,int mr){
	if(l>=ql&&r<=qr){return b1[p];}
	int res=0,mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid&&qr>mid)
		res=(query1(mid+1,r,p<<1|1,ql,qr,mr)+basem1[mr-mid]*query1(l,mid,p<<1,ql,qr,mid)%mod1)%mod1;
	else if(ql<=mid)res=query1(l,mid,p<<1,ql,qr,mr);
	else if(qr>mid)res=query1(mid+1,r,p<<1|1,ql,qr,mr);
	return res;
}
int query2(int l,int r,int p,int ql,int qr,int mr){
	if(l>=ql&&r<=qr){return b2[p];}
	int res=0,mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid&&qr>mid)
		res=(query2(mid+1,r,p<<1|1,ql,qr,mr)+basem2[mr-mid]*query2(l,mid,p<<1,ql,qr,mid)%mod2)%mod2;
	else if(ql<=mid)res=query2(l,mid,p<<1,ql,qr,mr);
	else if(qr>mid)res=query2(mid+1,r,p<<1|1,ql,qr,mr);
	return res;
}
int querysum(int l,int r,int p,int ql,int qr){
	if(l>=ql&&r<=qr){return sum[p];}
	int res=0,mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid)res=(res+querysum(l,mid,p<<1,ql,qr))%mod;
	if(qr>mid)res=(res+querysum(mid+1,r,p<<1|1,ql,qr))%mod;
	return res;
}
signed main(){
	n=in,q=in,mod=in;getbasem();
	for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=in,a[i]=(A[i]-A[i-1]+mod)%mod;
	built(1,n,1);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int opt=in,l=in,r=in,k=in;
		if(opt==1){change(1,n,1,l,k);if(r+1<=n)change(1,n,1,r+1,mod-k);}
		if(opt==2){
			int ql1=query1(1,n,1,l+1,l+k-1,l+k-1),qr1=query1(1,n,1,r+1,r+k-1,r+k-1);
			int ql2=query2(1,n,1,l+1,l+k-1,l+k-1),qr2=query2(1,n,1,r+1,r+k-1,r+k-1);
			int temp=querysum(1,n,1,l+1,r);
			if(k==1&&temp%mod==0)cout<<"ye5\n";
			else if(temp%mod||ql1^qr1||ql2^qr2)cout<<"n0\n";
			else cout<<"ye5\n";
		}
	}
    return 0;
}

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T4 dohnadohna \(\color{red}{10}\color{white}{好玩捏}\)

暴力枚举删去每个点然后做背包有30，考虑求出 \(DAG\) 的任意拓扑序，那么拓扑序小的只能走到拓扑序大的。求出从 \(1\) 和 \(n\) 出发到每个点的 背包dp 值，然后枚举每条边，这条边两端点拓扑序跨过的点就不会对这条路径产生影响，合并两端 dp 值，线段树区间维护即可。可能会有某些点拓扑序在 \(1\) 和 \(n\) 之外，需要特殊处理。

写了一个下午，调了一个晚上

计算两个 dp 的时候如果写四个一维数组又长又丑不好调，看了可可大神的 std，学会了结构体的灵活使用，也可以当做 trick 来看。

合并 dp 值时有个细节或者 trick，如果两个 dp 第二维都是不需要填满背包容量就会统计到重复方案，如果第二维都是背包恰好的大小，统计的时间复杂度又无法保证，我们将第一个 dp 设为背包容量，第二个设为恰好，这样是不重不漏的。

刚开始写的丑写挂了，照着 std 修改了前面预处理 dp 的部分，发现了很多细节。万幸线段树没写挂。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define in read()
inline int read(){
	int p=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){p=p*10+c-'0';c=getchar();}
	return p*f;
}
const int N=1e5+5;
const int M=5e5+5;
const int K=105;
const int mod=1e9+7;
inline int add(int x,int y){int z=x+y;return z>mod?z-mod:z;}
inline int mul(int x,int y){int z=x*y;return z>mod?z%mod:z;}
int n,m,k;
int a[N],b[N];
struct llmmkk{
	int u,v;
}E[M];
struct edge{
	int v,nxt;
}e[M];
int head[N],en;
inline void insert(int u,int v){
	e[++en].v=v;
	e[en].nxt=head[u];
	head[u]=en;
}
int gin[N];
int id[N],wc[N],sign;
queue<int>q;
struct node{
	int dis,cnt;
	node(int _dis=-1,int _cnt=0):dis(_dis),cnt(_cnt){}
	void check(const node &a){
		if(a.dis>dis)dis=a.dis,cnt=a.cnt;
		else if(a.dis==dis)cnt=add(cnt,a.cnt);
	}
	friend inline node operator +(const node &a,const node &b){
		return node(a.dis+b.dis,mul(a.cnt,b.cnt));
	}
	friend inline node operator +(const node &a,const int &b){
		return node(a.dis+b,a.cnt);
	}
}fr[N][K],ba[N][K],ans[N];
void getid(){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!gin[i])q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();q.pop();
		id[u]=++sign,wc[sign]=u;
		for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
			gin[e[i].v]--;
			if(!gin[e[i].v])q.push(e[i].v);
		}
	}
}
inline void getdis1(){
	memset(head,0,sizeof(head));en=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=E[i].u,v=E[i].v;
		insert(v,u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int u=wc[i];
		if(u==1)fr[u][0]=node(0,1),fr[u][a[u]]=node(b[u],1);
		for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nxt,v=e[i].v)
			for(int j=0;j<=k;j++){
				if(fr[v][j].dis==-1)continue;
				fr[u][j].check(fr[v][j]);
				if(j+a[u]>k)continue;
				fr[u][j+a[u]].check(fr[v][j]+b[u]);
			}
	}
}
inline void getdis2(){
	memset(head,0,sizeof(head));en=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=E[i].u,v=E[i].v;
		insert(u,v);
	}
	for(int i=n;i>=1;i--){
		int u=wc[i];
		if(u==n)ba[u][0]=node(0,1),ba[u][a[u]]=node(b[u],1);
		for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nxt,v=e[i].v)
			for(int j=0;j<=k;j++){
				if(ba[v][j].dis==-1)continue;
				ba[u][j].check(ba[v][j]);
				if(j+a[u]>k)continue;
				ba[u][j+a[u]].check(ba[v][j]+b[u]);
			}
	}
}
int maxn[N<<2],cnt[N<<2];
int tag[N<<2],ctag[N<<2];
void pushup(int p){
	if(maxn[p<<1]<maxn[p<<1|1])maxn[p]=maxn[p<<1|1],cnt[p]=cnt[p<<1|1];
	else if(maxn[p<<1]>maxn[p<<1|1])maxn[p]=maxn[p<<1],cnt[p]=maxn[p<<1];
	else maxn[p]=maxn[p<<1|1],cnt[p]=add(cnt[p<<1],cnt[p<<1|1]);
}
void built(int l,int r,int p){
	if(l==r){maxn[p]=-0x7fffffff,cnt[p]=0;return ;}
	int mid=(l+r)>>1;
	built(l,mid,p<<1);
	built(mid+1,r,p<<1|1);
	pushup(p);
}
void f(int p,int d,int cd){
	if(maxn[p]==d)cnt[p]=add(cnt[p],cd);
	if(maxn[p]<d)maxn[p]=d,cnt[p]=cd;
	if(d>tag[p])tag[p]=d,ctag[p]=cd;
	else if(d==tag[p])ctag[p]=add(ctag[p],cd);
}
void pushdown(int l,int r,int p){
	if(tag[p]){
		int mid=(l+r)>>1;
		f(p<<1,tag[p],ctag[p]);
		f(p<<1|1,tag[p],ctag[p]);
		tag[p]=0,ctag[p]=0;
	}
}
void change(int l,int r,int p,int cl,int cr,int Maxn,int Cnt){
	if(l>=cl&&r<=cr){f(p,Maxn,Cnt);return ;}
	int mid=(l+r)>>1;pushdown(l,r,p);
	if(cl<=mid)change(l,mid,p<<1,cl,cr,Maxn,Cnt);
	if(cr>mid)change(mid+1,r,p<<1|1,cl,cr,Maxn,Cnt);
	pushup(p);
}
bool no[N];
int ans1[N],ans2[N];
void out(int l,int r,int p){
	if(l==r){
		if(maxn[p]!=-0x7fffffff)
			ans1[wc[l]]=maxn[p],ans2[wc[l]]=cnt[p];
		else no[wc[l]]=1;
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;pushdown(l,r,p);
	out(l,mid,p<<1);out(mid+1,r,p<<1|1);
}
signed main(){
	n=in,m=in,k=in;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=in,b[i]=in;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		E[i].u=in,E[i].v=in;
		int u=E[i].u,v=E[i].v;
		insert(u,v);
		gin[v]++;
	}
	getid();
	getdis1();
	getdis2();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=k;j++)
			fr[i][j].check(fr[i][j-1]);
	built(1,n,1);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=E[i].u,v=E[i].v;node tans;
		if(id[u]+1>id[v]-1)continue;
		for(int j=0;j<=k;j++)
			if(fr[u][j].dis!=-1&&ba[v][k-j].dis!=-1)
			tans.check(fr[u][j]+ba[v][k-j]);
		if(tans.dis==-1)continue;
		change(1,n,1,id[u]+1,id[v]-1,tans.dis,tans.cnt);
	}
	if(id[1]>1)change(1,n,1,1,id[1]-1,fr[n][k].dis,fr[n][k].cnt);
	if(id[n]<n)change(1,n,1,id[n]+1,n,fr[n][k].dis,fr[n][k].cnt);
	cout<<fr[n][k].dis<<" "<<fr[n][k].cnt<<"\n";
	out(1,n,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(no[i])cout<<"-1\n";
		else cout<<ans1[i]<<" "<<ans2[i]<<"\n";
    return 0;
}