CF605E Intergalaxy Trips

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考虑你是不知道后来的边的出现情况的，所以可以这样做：每天你都选择一些点进行观察，知道某天往这些点里面的某条边可用了，你就往这条边走。这样贪心总是对的。

我们定义一个点的权值就是这个点到 $ n $ 的期望距离。同时它就是我们要算的答案。

但是注意到一个性质，我们总是从期望较大的点走向期望较小的点（显然的）。

所以我们可以类似反过来的 dijkstra 的更新，维护当前权值的点，然后这个点当前的值就必然是最终这个点的答案。所以我们可以拿它去更新到达它的点。

加入我们当前打算使用点 $ u $ 当前我们要考虑所有可以到达 $ u $ 的点，这些点已经被某些其他点更新过了。但是我们知道更新这些点的点肯定比 $ u $ 小。我们考虑当前枚举一个点 $ v $ ，然后尝试用 $ u $ 去更新 $ v $ 。注意 $ v $ 已经被一些点（设为 $ a_{1\dots n} $） 更新过了，并且 $ a_{1\dots n} $ 的权值都小于 $ u $ 。

这个时候我们考虑某一天，要么 $ v $ 到 $ a_{1\dots n} $ 至少一个点有边，这种情况下无论 $ v $ 到 $ u $ 是否有边都会走到 $ a_{1\dots n} $ 。所以真正能够通过 $ v $ 走到 $ u $ 的情况是某一天 $ v $ 到 $ u $ 有边并且到其他的点没边。

注意任意选择一个前缀时，等在这个地方的概率不同，是需要计算进去的。

注意 $ n $ 只有 $ 10^3 $，可以直接跑 $ O(n^2) $ 的 dijkstra 跑过去。

#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "cstring"
#include "cstdio"
#include "queue"
using namespace std;
#define MAXN 1006
int n;
double p[MAXN][MAXN];
double dp[MAXN] , tmp[MAXN] , f[MAXN];
int vis[MAXN];
int main() {
    cin >> n;
    for( int i = 1 ; i <= n ; ++ i )
        for( int j = 1 , q ; j <= n ; ++ j ) scanf("%d",&q) , p[i][j] = 1.0 * q / 100;
    for( int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) dp[i] = 3e18 , tmp[i] = 1;
    dp[n] = 0;
    for( int i = 1 , u = 0 ; i <= n ; ++ i ) {
        double mn = 3e18;
        for( int j = 1 ; j <= n ; ++ j ) if( !vis[j] && dp[j] < mn ) mn = dp[j] , u = j;
        vis[u] = 1;
        for( int v = 1 ; v <= n ; ++ v ) if( !vis[v] && p[v][u] > 1e-8 ) {
            double ls = 1 - tmp[v]; tmp[v] *= 1.0 - p[v][u];
            double t = ls / ( 1 - tmp[v] ); // 在这个点的情况中，其他边出现至少一条的概率 / 当前边加入后至少出现一条的概率
            double r1 = t * f[v] , r2 = ( 1 - t ) * dp[u]; // 两种情况，要么按照以前的边有出现，要么只有新加入的边出现
            f[v] = r1 + r2;
            dp[v] = min( dp[v] , f[v] + 1 / ( 1 - tmp[v] )); // 考虑等着
        }
    }
    printf("%.7lf",dp[1]);
}