0x03 前缀和与差分

前缀和

【例题】BZOJ1218 激光炸弹

计算二位前缀和，再利用容斥原理计算出答案即可。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 using namespace std;
 const int maxn=+;
 int n, r, sum[maxn][maxn];

 int main() {
     scanf("%d%d", &n, &r);
     int x, y, v, maxx=, maxy=;
     maxx=maxy=r;
     for (int i=; i<=n; ++i) {
         scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);
         ++x; ++y;
         maxx=max(maxx, x); maxy=max(maxy, y);
         sum[x][y]=v;
     }
     for (int i=; i<=maxx; ++i) {
         for (int j=; j<=maxy; ++j) {
             sum[i][j]+=sum[i-][j]+sum[i][j-]-sum[i-][j-];
         }
     }
     //枚举面积为r的正方形
     int ans=;
     for (int i=r; i<=maxx; ++i) {
         for (int j=r; j<=maxy; ++j) {
             ans=max(ans, sum[i][j]-sum[i-r][j]-sum[i][j-r]+sum[i-r][j-r]);
         }
     }
     printf("%d\n", ans);
     return ;
 }

差分

【例题】CH0304 IncDec Sequence

求出序列a的差分序列b，令b_n+1=0，目标是将把b₂,b₃...b_n变为全0。

把序列a区间[l,r]加d，其差分序列的变化为B_l加d,B_r+1减d。

从b₁,b₂...b_n中任选两个数的方法可以分为4类：

1.选b_i和b_j

2.选b₁和b_j

3.选b_i和b_n+1

4.选b₁和b_n+1,这种选法没有意义

设整数总和为p，负数总和为q，首先以正负数匹配的方式尽量选择操作1，可执行min(p,q)次。

剩余|p-q|个未配对，执行操作2和操作3，共需|p-q|次。

所以最少操作次数为min(p,q)+|p-q|=max(p,q)次，根据操作2,3的选择情况，能产生|p-q|+1种b₁的值，即序列a可能有|p-q|+1种。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 const int maxn=+;
 long long n, a[maxn], s[maxn], p=, q=;

 int main() {
     scanf("%lld", &n);
     for (int i=; i<=n; ++i)
         scanf("%lld", &a[i]);
     s[]=a[]; s[n+]=;
     for (int i=; i<=n; ++i) {
         s[i]=a[i]-a[i-];
     }
     for (int i=; i<=n; ++i) {
         if (s[i]>) p+=s[i];
         else if (s[i]<) q-=s[i];
     }
     printf("%lld\n%lld\n", max(p,q), abs(p-q)+);
     return ;
 }

【例题】POJ3263 Tallest Cow

若有一条关系指明A_i和B_i可以互相看见，就将他们数组中A_i+1到B_i-1的数减去1，最终得到所有牛与最高的牛p的相对身高关系。

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <map>
 using namespace std;
 const int maxn=+;
 int n, p, h, m, c[maxn], d[maxn];
 map<pair<int, int>, bool> ext;

 int main() {
     scanf("%d%d%d%d", &n, &p, &h, &m);
     int a, b;
     for (int i=; i<=m; ++i) {
         scanf("%d%d", &a, &b);
         if (a>b) swap(a,b);
         if (ext[make_pair(a,b)]) continue;
         d[a+]--, d[b]++;
         ext[make_pair(a,b)]=true;
     }
     for (int i=; i<=n; ++i) {
         c[i]=c[i-]+d[i];
         printf("%d\n", h+c[i]);
     }
     return ;
 }