费马平方和定理&&斐波那契恒等式&&欧拉四平方和恒等式&&拉格朗日四平方和定理

费马平方和定理

费马平方和定理的表述是：奇素数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1.

1. 如果两个整数都能表示为两个平方数之和的形式，则他们的积也能表示为两个平方数之和的形式。

$$\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) &=a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2} \\ &=\left(a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}-2 a b c d\right)+\left(a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}+2 a b c d\right) \\ &=(a c-b d)^{2}+(a d+b c)^{2} \end{aligned}$$

2. 如果一个能表示为两个平方数之和的整数，能被另一个能表示为两个平方数之和的素数整除，则他们的商也能表示为两个平方数之和。

即 $\frac{a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}=\left(\frac{q p+b q}{p^{2}+q^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{a q-b p}{p^{2}+q^{2}}\right)^{2}$

3.如果 $a$ 和 $b$ 互质，则 $a^2+b^2$ 的所有因子都能表示成两个平方数之和

4. 任何形如 $4n+1$ 的素数都能表示为两个平方数之和的形式

婆罗摩笈多－斐波那契恒等式

婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式：

$$\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) &=(a c-b d)^{2}+(a d+b c)^{2} \\ &=(a c+b d)^{2}+(a d-b c)^{2} \end{aligned}$$

这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。例如，

欧拉四平方和定理

欧拉四平方和恒等式说明，如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。等式为：

$$\begin{aligned}\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right) &=\\\left(a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}-a_{3} b_{3}-a_{4} b_{4}\right)^{2}+& \\\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}+a_{3} b_{4}-a_{4} b_{3}\right)^{2}+& \\\left(a_{1} b_{3}-a_{2} b_{4}+a_{3} b_{1}+a_{4} b_{2}\right)^{2} &+\\\left(a_{1} b_{4}+a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}+a_{4} b_{1}\right)^{2} \end{aligned}$$

拉格朗日四平方和定理

四平方和定理：每个正整数均可表示成4个整数的平方和。

注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。

等价的说法是：每个正整数均可表示成不超过四个整数的平方之和。

重要推论：

1. 数 $n$ 只能表示成四个整数的平方和，不能表示成更少个数的平方和，必定满足 $4^a(8b+7)$.

2. 如果 n%4==0，k=n/4，n 和 k 可由相同个数的整数表示

如何利用推论求一个正整数最少需要多少个数的平方和表示：

1. 先判断这个数是否满足 $4^a(8b+7)$，如果满足，那么这个数就至少需要 4 个数的平方和表示。

2. 如果不满足，再在上面除以 4 之后的结果上暴力尝试只需要 1 个数就能表示和只需要 2 个数就能表示的情况。

3. 如果还不满足，那么就只需要 3 个数就能表示。

参考链接：

1. https://zh.wikipedia.org/wiki/费马平方和定理

2.https://zh.wikipedia.org/wiki/婆罗摩笈多－斐波那契恒等式

3. https://zh.wikipedia.org/wiki/欧拉四平方和恒等式

4. https://blog.csdn.net/qq_41746268/article/details/98513714

5. https://blog.csdn.net/l_mark/article/details/89044137