洛谷P3232[HNOI2013]游走

有一个无向简单连通图，顶点从 \(1\) 编号到 \(n\)，边从 \(1\) 编号到 \(m\)

小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在\(1\)号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达\(n\)号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 现在，请你对这\(m\)条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

也是一个图上随机游走的模型，但这次问题在于不能直接算出答案

我们仍然按照以前的套路，设\(x_i\)为期望经过\(i\)点的次数，\(indeg_i\)为于\(i\)相连的边数，那么

\[x_1=1+\sum\limits_{(1,j)\in E,j\ne n}\frac{x_j}{indeg_j}+1\]
\[x_i=1+\sum\limits_{(i,j)\in E,j\ne n}\frac{x_j}{indeg_j},i\ne 1\]

将未知数挪到一侧

\[-x_1+1+\sum\limits_{(1,j)\in E,j\ne n}\frac{x_j}{indeg_j}=-1\]
\[-x_i+1+\sum\limits_{(i,j)\in E,j\ne n}\frac{x_j}{indeg_j}=0,i\ne 1\]

然后高斯消元就可以得到\(x_i\)

接下来设\(f_i\)为经过第\(i\)条边的期望次数，则

\[f_i=\sum\limits_{u\in E_i,u\ne n}\frac{x_u}{indeg_u}\]

然后我们贪心地令\(f_i\)最小的边获得最大的编号，统计答案