【loj2568】【APIO2016】【学习笔记 左偏树】烟花表演

题目

一棵树,\(n\)个非叶子节点，编号为\(1-n\)，\(m\)个叶子节点，编号为\(n+1-n+m\)

每条边有边权，修改边权的代价为\(|a-b|\) ;

定义一个叶子的距离为到1(根节点)的边的长度之和；

求最小的修改代价使得最后所有叶子的距离相同；

$1 \le M \le 300000 $

题解

​ (做完这个题之后有一种为什么uoj的好评只能点一次的遗憾)

• 设\(f(x)\)表示最终距离为\(x\)的答案，对于叶子是下凸的并且每段都是一次函数，归纳都满足这个性质的并设最值的区间为\([L,R]\) ，注意到这一段的\(f'_u\)为0，左边<=-1，右边>=1，考虑转移:

  \[f_u(x) = \sum_{v} min_{k=0}^x \{ f_v(x-k) + |w-k| \} \\
  考虑单个的v:\\
  f_u(x) = \begin{cases}
  f_v(x) + w & x \le L \\
  f_v(L) + w-(x-L) & L \lt x \le L+w \\
  f_v(L) & L+w \lt x \le R+w \\
  f_v(R) + (x-R)-w & R+w \lt x \\
  \end{cases}
  \\也即把[0,L]向上平移w个单位，[L,R]向右移动w个单位；
  \\中间用斜率为-1的线连接,再从R+w作一条斜率为1的射线；
  \\所有v相加仍然是凸的
  \]

  这里有详细的说明，不过建议自己脑补一下

• 斜率是连续的，设交点横坐标分别为\(x_m,x_m-1,\cdots,x_１,\cdots\)， $ x_i $ 的左边斜率 $ =-i $ ，规定\(x_{m+1}\)为\(0\)

  \[ans = f_1(0) + \sum_{i=1}^{m}-i(x_i-x_{i+1}) = f_1(0) + \sum_{i=1}^{m} -x_i \\
  f_1(0)=\sum w
  \]

• 维护交点，所有\(f_v\)相加即交点集合合并，可以知道此时最大的斜率为\(|v|-1\)直接再删除那么多个交点即可；

• 用可并堆维护，我写的左偏树;

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define mk make_pair
  #define pb push_back
  #define fi first
  #define se second
  using namespace std;
  const int N=600010;
  int n,m,ls[N],rs[N],rt[N],sz,ds[N];
  ll wv[N];
  typedef pair<int,int>pii;
  vector<pii>g[N];
  bool cmp(int a,int b){return wv[a]==wv[b]?a<b:wv[a]<wv[b];}
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  int merge(int x,int y){
  	if(!x||!y)return x+y;
  	if(cmp(x,y))swap(x,y);
  	rs[x]=merge(rs[x],y);
  	if(ds[ls[x]]<ds[rs[x]])swap(ls[x],rs[x]);
  	ds[x]=ds[rs[x]]+1;
  	return x;
  }
  int main(){
  //	freopen("fireworks.in","r",stdin);
  //	freopen("fireworks.out","w",stdout);
  	ll ans=0;n=rd();m=rd();
  	for(int i=2;i<=n+m;++i){
  		int u=rd(),w=rd();
  		g[u].pb(mk(i,w));
  		ans+=w;
  	}
  	for(int i=n+1;i<=n+m;++i)rt[i]=++sz,rs[rt[i]]=++sz;
  	for(int i=n;i;--i){
  		int d=(int)g[i].size();
  		for(int j=0;j<d;++j){
  			int v=g[i][j].fi,w=g[i][j].se;
  			wv[rt[v]]+=w;
  			if(cmp(ls[rt[v]],rs[rt[v]]))wv[rs[rt[v]]]+=w;
  			else wv[ls[rt[v]]]+=w;
  			rt[i]=merge(rt[i],rt[v]);
  		}
  		for(int j=1;j<d;++j)rt[i]=merge(ls[rt[i]],rs[rt[i]]);
  	}
  	rt[1]=merge(ls[rt[1]],rs[rt[1]]);
  	while(rt[1]){
  		ans-=wv[rt[1]];
  		rt[1]=merge(ls[rt[1]],rs[rt[1]]);
  	}
  	cout<<ans<<endl;
  	return 0;
  }