CH定理与线性递推

才发觉自己数学差的要死，而且脑子有点浑浑噩噩的，学了一个晚上才学会

如果说的有什么不对的可以在下面嘲讽曲明

以下无特殊说明时，默认方阵定义在实数域上，用\(|A|\)表示\(A\)的行列式

特征值与特征向量

对于一个\(n\)阶方阵\(A\)，如果存在某个列向量\(v\)和\(\lambda\in R\)，使得

\[\begin{aligned}
Av=\lambda v
\end{aligned}
\]

则我们称\(v\)为矩阵\(A\)的特征向量，\(\lambda\)为对应的特征值

不难发现上面的等式可以写成

\[\begin{aligned}
(\lambda E-A)v=0
\end{aligned}
\]

根据线代的基本芝士，可以得知

一，如果\(A\)满秩，则\(A\)有\(n\)组线性无关的特征向量

二，如果\(|\lambda E-A|=0\)，则存在\(v\)使等式成立，否则不存在

Cayley-Hamilton定理

假设\(A\)满秩。记\(A\)的特征多项式为\(f(\lambda)=|\lambda E-A|\)，其中\(\lambda\)代表未知数。通过暴力展开行列式易知\(f\)是关于\(\lambda\)的一个\(n\)次多项式，设其为\(f(\lambda)=\lambda^n+\sum_{i=1}^na_i\lambda^{n-i}\)，则\(f(A)=A^n+\sum_{i=1}^na_iA^{n-i}=0\)

可以跳过证明直接看下面了

对于\(f(\lambda)\)，它的\(n\)个根为\(\lambda_k\)，其中\(\lambda_{k}\)表示\(A\)的第\(k\)个特征值，所以不考虑常数倍时，它可以写成

\[\begin{aligned}
f(\lambda)=\prod_{k}(\lambda_{k}-\lambda)
\end{aligned}
\]

所以我们需要证明下列等式恒成立

\[\begin{aligned}
\prod_{k}(\lambda_{k} E-A)=0
\end{aligned}
\]

直接证明它为\(0\)很难，我们可以考虑证明任意向量乘上它为\(0\)

因为它的\(n\)组特征向量线性无关，所以任意向量都可以被这\(n\)组特征向量表示，那么只要证明任意特征向量乘上它为\(0\)即可

首先，可以证明它满足交换律

\[\begin{aligned}
(aE-A)(bE-A)=abE^2-aEA-bEA+A^2=(bE-A)(aE-A)
\end{aligned}
\]

那么就可以把里面的给提出来

\[\begin{aligned}
v_i\prod_{k}(\lambda_{k} E-A)=v_i(\lambda_{i} E-A)\prod_{k\neq i}(\lambda_{k} E-A)=0
\end{aligned}
\]

就没了

线性递推

先考虑求出\(f(\lambda)\)，对于\(|\lambda E-A|\)，我们写出这个矩阵，并对第一列展开，可得\(f(\lambda)=\lambda^n-\sum_{i=1}^na_i\lambda^{n-i}\)，于是我们可以得到\(f(A)\)的系数了

递推关系为

\[\begin{aligned}
h_i=\sum_{j=1}^na_jh_{i-j}
\end{aligned}
\]

\(h_{0,...,n-1}\)已给出，求\(h_k\)

我们记初始向量为\(S\)，其中\(S_i=h_i\)，转移矩阵为\(A\)，以及\(B(x)=f(A)\)，那么最终要求的就是\((S\times A^n)_0\)

我们记\(C(A)\equiv A^n\pmod{B(A)}\)，由于\(B=0\)，所以\(C(A)=A^{n}\)

注意这里模一个零多项式不会有问题，因为取模相等于减去若干个\(B(A)\)

而且由于\(C(A)\)是模\(B(A)\)后的多项式，所以\(C(A)\)的次数小于\(n\)，即\(C(A)\)可以写成\(\sum_{i=0}^{n-1}c_iA^i\)

那么最终要求的柿子就可以写成

\[\begin{aligned}
(S\times A^n)_0
&=(S\times \sum_{i=0}^{n-1}c_iA^i)_0\\
&=\sum_{i=0}^{n-1}c_i(S\times A^i)_0\\
\end{aligned}
\]

这里\(S\times A^i\)，事实上就是\(S_i\)，所以最终的答案就是

\[\begin{aligned}
h_n=\sum_{i=0}^{n-1}c_ih_i
\end{aligned}
\]

求\(C\)的话，用多项式快速幂+取模即可，如果都是暴力实现的话复杂度是\(O(n^2\log k)\)，如果用\(NTT\)可以优化到\(O(n\log n \log k)\)

bzoj4161，暴力

//quming
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
const int P=1e9+7;
inline void upd(R int &x,R int y){(x+=y)>=P?x-=P:0;}
inline int inc(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))(y&1)?res=mul(res,x):0;
    return res;
}
const int N=2005;
typedef vector<int> poly;
int a[N],b[N],L,n,res;poly c,d,md;
poly operator %(R poly a,R poly b){
    R int n=a.size(),m=b.size(),t,iv=inc(0,P-ksm(b[m-1],P-2));
    fd(i,n-1,m-1)if(a[i]){
        t=mul(a[i],iv);
        fp(j,0,m-1)upd(a[i-j],mul(t,b[m-1-j]));
    }
    while(!a.empty()&&!a.back())a.pop_back();
    return a;
}
poly operator *(R poly a,R poly b){
    R int n=a.size(),m=b.size();poly c(n+m-1);
    fp(i,0,n-1)fp(j,0,m-1)upd(c[i+j],mul(a[i],b[j]));
    return c%md;
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&L,&n);
    fp(i,1,n)scanf("%d",&a[i]),upd(a[i],P);
    fp(i,0,n-1)scanf("%d",&b[i]),upd(b[i],P);
    md.resize(n+1);md[n]=1;fp(i,0,n-1)md[i]=inc(0,P-a[n-i]);
    c.resize(1),d.resize(2),c[0]=1,d[1]=1;
    for(;L;L>>=1,d=d*d)if(L&1)c=c*d;
    res=0;
    fp(i,0,n-1)upd(res,mul(c[i],b[i]));
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

洛谷4723 NTT优化

常数极大，极大

//quming
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
const int P=998244353;
inline void upd(R int &x,R int y){(x+=y)>=P?x-=P:0;}
inline int inc(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))(y&1)?res=mul(res,x):0;
	return res;
}
const int N=(1<<17)+5;
int rt[2][N],r[18][N],inv[18],lg[N],md[N],A[N],B[N],a[N],b[N],lim,d,n,K;
void init(){
	fp(d,1,16){
		fp(i,1,(1<<d)-1)r[d][i]=(r[d][i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
		inv[d]=ksm(1<<d,P-2),lg[1<<d]=d;
	}
	for(R int t=(P-1)>>1,i=1,x,y;i<65536;t>>=1,i<<=1){
		x=ksm(3,t),y=ksm(332748118,t),rt[0][i]=rt[1][i]=1;
		fp(k,1,i-1){
			rt[0][i+k]=mul(rt[0][i+k-1],x);
			rt[1][i+k]=mul(rt[1][i+k-1],y);
		}
	}
}
void NTT(int *A,int ty){
	int t;
	fp(i,0,lim-1)if(i<r[d][i])swap(A[i],A[r[d][i]]);
	for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
		for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
			fp(k,0,mid-1){
				A[j+k+mid]=inc(A[j+k],P-(t=mul(A[j+k+mid],rt[ty][mid+k])));
				upd(A[j+k],t);
			}
	if(!ty){
		t=inv[d];
		fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],t);
	}
}
void Inv(int *a,int *b,int len){
	if(len==1)return b[0]=ksm(a[0],P-2),void();
	Inv(a,b,len>>1);
	static int A[N],B[N];lim=(len<<1),d=lg[lim];
	fp(i,0,len-1)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	fp(i,len,lim-1)A[i]=B[i]=0;
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],mul(B[i],B[i]));
	NTT(A,0);
	fp(i,0,len-1)upd(b[i],inc(b[i],P-A[i]));
	fp(i,len,lim-1)b[i]=0;
}
void Mod(int *a,int *b,int *c,int n,int m){
	while(!a[n-1])--n;
	if(n<m){
		fp(i,0,n-1)c[i]=a[i];fp(i,n,m-2)c[i]=0;
		return;
	}
	static int A[N],B[N],IB[N],C[N];
	R int len=1;while(len<=n-m)len<<=1;
	fp(i,0,n-1)A[i]=a[n-i-1];fp(i,0,m-1)B[i]=b[m-i-1];
	fp(i,m,len-1)B[i]=0;Inv(B,IB,len);
	lim=(len<<1),d=lg[lim];
	fp(i,n-m+1,lim-1)A[i]=IB[i]=0;
	NTT(A,1),NTT(IB,1);
	fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],IB[i]);
	NTT(A,0);
	lim=1;while(lim<n)lim<<=1;d=lg[lim];
	fp(i,0,n-m)C[i]=A[n-m-i];fp(i,n-m+1,lim-1)C[i]=0;
	fp(i,0,m-1)B[i]=b[i];fp(i,m,lim-1)B[i]=0;
	NTT(B,1),NTT(C,1);
	fp(i,0,lim-1)B[i]=mul(B[i],C[i]);
	NTT(B,0);
	fp(i,0,m-2)c[i]=inc(a[i],P-B[i]);
	fp(i,m-1,lim-1)c[i]=0;
}
void Mul(int *a,int *b,int *c,int n,int m){
	static int A[N],B[N];
	lim=1;while(lim<(n+m))lim<<=1;d=lg[lim];
	fp(i,0,n-1)A[i]=a[i];fp(i,0,m-1)B[i]=b[i];
	fp(i,n,lim-1)A[i]=0;fp(i,m,lim-1)B[i]=0;
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],B[i]);
	NTT(A,0);
	fp(i,n+m-1,lim-1)A[i]=0;
	Mod(A,md,c,n+m-1,K+1);
}
void ksm(int y){
	R int sz=2,psz=1;
	A[1]=1,B[0]=1;
	for(;y;y>>=1,Mul(A,A,A,sz,sz),sz=sz+sz-1,cmin(sz,K))
		if(y&1)Mul(A,B,B,sz,psz),psz+=sz-1,cmin(psz,K);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	init();
	scanf("%d%d",&n,&K);
	fp(i,1,K)scanf("%d",&a[i]),upd(a[i],P);
	fp(i,0,K-1)scanf("%d",&b[i]),upd(b[i],P);
	md[K]=1;fp(i,0,K-1)md[i]=inc(0,P-a[K-i]);
	ksm(n);
	R int res=0;
	fp(i,0,K-1)upd(res,mul(B[i],b[i]));
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}

参考文献

https://www.luogu.org/blog/ShadowassIIXVIIIIV/solution-p4723

https://blog.csdn.net/qq_39972971/article/details/80732541