Magic Master(2019年南昌网络赛E题+约瑟夫环)

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传送门

题意

初始时你有\(n\)张牌(按顺序摆放)，每一次操作你将顶端的牌拿出，然后按顺序将上面的\(m\)张牌放到底部。

思路

首先我们发下拿走\(1\)后就变成了总共有\(n-1\)个人数到\(m+1\)的人出局，问你每个人是第几个出局的，很明显的约瑟夫环。

比赛的时候我还在推公式，然后发现机房有人用暴力模拟过了，尤其是题解也是暴力，就很无语。

如果这题标程不假并且只给\(1s\)，那么该怎么写呢？

这题由于\(n\)很大，我们肯定不能将\(n\)个人出局顺序一一枚举，然后我们发现\(q\)很小，因此我们就对查询的那个编号进行求解即可。

由于第一个人始终是第一个出局的，那么我们将他特判掉，然后\(n=n-1\)，又由于是数到\(m+1\)出局，因此令\(m=m+1\)，然后开始解题。

假设当前有\(n(n\geq m\)人，那么将会出局\(m,2m,3m,\dots,\lfloor\frac{n}{m}\rfloor*m\)，然后将\(\lfloor\frac{n}{m}\rfloor*m+1,\lfloor\frac{n}{m}\rfloor*m+2,\dots,n\)和前面没有出局的人拼接起来变成\(\lfloor\frac{n}{m}\rfloor*m+1,\lfloor\frac{n}{m}\rfloor*m+2,\dots,n,1,\dots\)，然后更新现在查询的人的编号是多少即可。

注意当\(n<m\)时，再用上式就会发现没有人出局，因此需要转变思路，每次出局编号为\((m-1)\% n+1\)，\(m-1\)后再取模加一是处理掉模\(n\)等于\(0\)的情况，之后就和上面一样拼接即可，这部分只需要循环\(m\)次，也就是说最多循环\(10\)次。

用这种方法只需要跑\(2ms\)，因此这次网络赛给的时限使得这题成为了一道假题。

代码

#include <set>
#include <map>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> pLL;
typedef pair<LL, int> pLi;
typedef pair<int, LL> pil;;
typedef pair<int, int> pii;
typedef unsigned long long uLL;

#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define name2str(name) (#name)
#define bug printf("*********\n")
#define debug(x) cout<<#x"=["<<x<<"]" <<endl
#define FIN freopen("/home/dillonh/CLionProjects/Dillonh/in.txt","r",stdin)
#define IO ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0)

const double eps = 1e-8;
const int mod = 1000000007;
const int maxn = 200000 + 7;
const double pi = acos(-1);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

int t, n, m, q, x;

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    FIN;
#endif
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
        ++m;
        while(q--) {
            scanf("%d", &x);
            if(x == 1) {
                printf("1\n");
                continue;
            }
            --x;
            int tot = n - 1, ans = 1;
            while(1) {
                if(tot < m) {
                    int nw = (m - 1) % tot + 1;
                    if(nw == x) {
                        printf("%d\n", ans + 1);
                        break;
                    }
                    if(nw < x) x = x - nw;
                    else x = tot - nw + x;
                    ++ans, --tot;
                    continue;
                }
                if(x % m == 0) {
                    printf("%d\n", ans + (x / m));
                    break;
                }
                ans += tot / m;
                if(x > (tot / m) * m) x = x - (tot / m) * m;
                else x = tot - (tot / m) * m + x - (x / m);
                tot -= tot / m;
            }
        }
    }
    return 0;
}