[SRM625 Div1 Hard] Seatfriends

题目链接：Portal Vjudge

Solution

一开始拿到这一题Sb了，把空放到dp中一起考虑了，这样计数就变得很麻烦。

其实我们可以把空位拿出来，假设它是存在的，最后再放回去。

那么就可以钦定某个人放到第一个，因为这是环排列，所以最后乘以n就可以了。

设\(Dp[i][j]\)表示来了\(i\)个人，分成\(j\)个联通块的方案数。

那么新来的人有三种选择，加入一个联通块，独立成为一个联通块，合并两个联通块：

\[Dp[i + 1][j + 1] += dp[i][j] * j\\
Dp[i + 1][j - 1] += dp[i][j] * j\\
Dp[i + 1][j] += dp[i][j] * 2j
\]

最后利用隔板法：$$ ans = n\sum_{i = 1}^{G} dp[m][i] * {n - k - 1 \choose i - 1}$$

一般环排列有空的计数，可以把空位全部抽出来计数，并且在计数过程中假定空存在，最后再用隔板法插入。

如果所求排列是环排列，那就钦定一种选法然后乘上环的大小即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, a, b) for(int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++i)
#define drep(i, a, b) for(int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; --i)
#define clar(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
typedef long long LL;
typedef long double LD;

const int Maxn = 4009, Mod = 1e9 + 7;
class Seatfriends {
	private:
		int dp[Maxn][Maxn];
		int invFac[Maxn], fac[Maxn];
	public:
		int fpm(int base, int tims) {
			int r = 1;
			while (tims) {
				if (tims & 1) r = r * 1ll * base % Mod;
				base = base * 1ll * base % Mod;
				tims >>= 1;
			}
			return r;
		}
		int C(int n, int m) {
			if (m > n) return 0;
			return fac[n] *1ll * invFac[m] % Mod * invFac[n - m] % Mod;
		}

		void init(int n) {
			fac[0] = 1;
			rep (i, 1, n) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % Mod;
			invFac[n] = fpm(fac[n], Mod - 2);
			drep (i, n - 1, 0) invFac[i] = invFac[i + 1] * (i + 1ll) % Mod;
		}

		int countseatnumb(int n, int k, int g) {
			init(n + k); clar(dp, 0);
			dp[1][1] = 1;
			rep (i, 1, k)
				rep (j, 1, g)
					if (dp[i][j]) {
						(dp[i + 1][j + 1] += 1ll * dp[i][j] * j % Mod) %= Mod;
						(dp[i + 1][j] += 2ll * j % Mod * dp[i][j] % Mod) %= Mod;
						if (j > 1) (dp[i + 1][j - 1] += 1ll * dp[i][j] * j % Mod) %= Mod;
					}
			LL ans = 0;
			if (n == k) return (g >= 1) * dp[k - 1][1] * 1ll * n % Mod;
			rep (i, 1, g) ans = (ans + 1ll * dp[k][i] * C(n - k - 1, i - 1) % Mod) % Mod;
			return ans * 1ll * n % Mod;
		}
};