1856: [Scoi2010]字符串(Catalan数)

1856: [Scoi2010]字符串

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Description

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

Input

输入数据是一行，包括2个数字n和m

Output

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

Sample Input

2 2

Sample Output

2

HINT

【数据范围】
对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

Source

Day2

/*
LuoguAC，bzoj总是CE我也很绝望啊
Catelan数。
等价于画一个坐标系从(0,0)到n-m且不越过y=-1(即1的个数>=0)这条线的方案数。
把y=n-m关于y=-1对称。则每一个不合法的解都对应一条从(0,0)到y=m-n-2的路径(画图可知)
答案就是总方案数减去不合法的路径条数。
考虑放x个1,则有 x-(n+m-x)=m-n-2 (到达y=m-n-2) 解得x=m-1。
不合法的路径条数就是C(m+n,m-1)
*/
#include<bits/stdc++.h>

#define N 2000002
#define M 20100403
#define ll long long

using namespace std;
ll n,m,ans;
ll inv[N]={,},fac[N]={,},f[N]={,};

int ll C(ll a,ll b)
{
    return ((fac[a]*inv[b])%M*inv[a-b]%M)%M;
}

inline void init()
{
    fac[]=;
    for(int i=;i<=n+m+;i++)
    {
        fac[i]=(fac[i-]%M*i)%M;
        f[i]=((M-M/i)*f[M%i])%M;
        inv[i]=(inv[i-]*f[i])%M;
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    init();
    ans=(C(n+m,n)%M-C(m+n,m-)%M+M)%M;
    cout<<ans<<endl;
    return ;
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mod 20100403
#define ll long long
using namespace std;

ll n,m;
ll mul[],inv[];

ll c(ll x,ll y)
{
    return (((mul[x]*inv[x-y])%mod)*inv[y])%mod;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    mul[]=mul[]=inv[]=inv[]=;
    ll tot=m+n;
    for(ll i=;i<=tot;i++)mul[i]=mul[i-]*i%mod;
    for(ll i=;i<=tot;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(ll i=;i<=tot;i++)inv[i]=inv[i]*inv[i-]%mod;
    ll ans=((c(tot,n)-c(tot,n+))%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}