「SDOI2010」古代猪文（bzoj1951）

题目写了一大堆背景。

一句话题意就是求 $q^{\sum_{d|n}C_{n}^{d}} \mod 999911659$。

因为$n$是质数，只有当$q$是$n$的倍数时（此题数据范围原因，最多$q=n$），两数不互质，无法使用一些同余方程公式。这种特殊情况下可直接观察原式，发现答案就是$0$。

下面考虑的就都是$q≠n$的倍数的情况了。

根据$φ$的性质，由于这里$n(999911659)$是个质数，所以欧拉函数$φ(n)=n-1=999911658$；且当前考虑的是$q≠n$的情况，所以$q,n$必定互质，可以用欧拉定理。

先放此题结论：$q^{\sum_{d|n}C_{n}^{d}} \mod 999911659 \equiv q^{\sum_{d|n}C_{n}^{d}\mod 999911658} (\mod 999911659\space)$

但原欧拉定理不是这样的，这里推一下吧。

原欧拉定理：$q^{φ(M)} \equiv 1 (\mod M\space)$（设模数为$M$）

由于同余满足加、减、乘运算，两边同时翻$x(x为非负整数)$次方，得

$q^{φ(M)*x} \equiv 1 (\mod M\space)$

两边再同时乘以$a^y(y为非负整数)$，得

$q^{φ(M)*x+y} \equiv q^y (\mod M\space)$

设 $k=φ(M)*x+y$，则 $q^k \equiv q^y (\mod M\space)$

由于 $y=k \mod φ(M)$。

所以 $q^k \equiv q^{k\mod φ(M)} (\mod M\space)$

由于这题的值都是正整数，所以可以用非负的$x,y$得出的$k$表示任意非负整数，即可以表示$\sum_{d|n}C_{n}^{d}$这种非负整数。

因此上述结论对 $q^{\sum_{d|n}C_{n}^{d}} \mod 999911659$ 成立。

于是本题的关键就是求 $\sum_{d|n}C_{n}^{d}\mod 999911658$ 了。

但$999911658$不是质数，没法直接套同余公式。我们需要把它分解质因数。

通过另写一个暴力程序可知把这个数分解质因数得 $999911658=2*3*4679*35617$

分解出来的质数都非常小，设其中一个为$M$，我们直接$O(\sqrt n)$地枚举$n$的约数$d$，用 $lucas$ 求组合数$C_{n}^{d}\mod M$。

求和即可解出$\sum_{d|n}C_{n}^{d}\mod M$。

然后因为四个模数都是质数，所以可以用中国剩余定理合并答案。

$x\mod 2=a_1$

$x\mod 3=a_2$

$x\mod 4769=a_3$

$x\mod 35617=a_4$

即可得到 $\sum_{d|n}C_{n}^{d}\mod 999911658$ 的最小非负整数解$x$。再用快速幂求 $q^x$ 即可得到原问题的答案。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 using namespace std;
 inline ll read(){
     ll x=; bool f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=;
     for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<)+(x<<)+(c^'');
     if(f) return x;
     return -x;
 }
 const ll a[]={,,,};
 ll n,g,p[][],b[],inv[][];
 ll ans,mod=;
 inline ll C(ll x,ll y,ll mod){
     if(x>y) return ;
     return p[mod][y]*inv[mod][p[mod][y-x]*p[mod][x]%a[mod]]%a[mod];
 }
 ll lucas(ll x,ll y,ll mod){ //求组合数C(x,n)%a[mod]
     if(x==) return ;
     return C(x%a[mod],y%a[mod],mod)*lucas(x/a[mod],y/a[mod],mod);
 }
 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
     if(b==){x=,y=; return;}
     exgcd(b,a%b,x,y);
     ll t=x; x=y, y=t-(a/b)*y;
 }
 ll Pow(ll a,ll b){
     ll ret=;
     while(b>){
         if(b&) (ret*=a)%=mod;
         (a*=a)%=mod;
         b>>=;
     }
     return ret;
 }
 int main(){
     n=read(),g=read();
     g%=mod;
     if(!g){printf("0\n"); return ;}
     ll i,j;
     for(i=;i^;++i){
         for(j=p[i][]=;j<=a[i];++j) p[i][j]=p[i][j-]*j%a[i];
     }
     for(i=;i^;++i){
         inv[i][]=inv[i][]=;
         for(j=;j^a[i];++j){
             inv[i][j]=-(a[i]/j)*inv[i][a[i]%j],
             inv[i][j]=(inv[i][j]%a[i]+a[i])%a[i];
             //prllf("%d %d %d %d %d",a[i],j,-(a[i]/j),inv[i][a[i]%j],inv[i][j]); system("pause");
         }
     }
     ll to=sqrt(n);
     for(i=;i<=to;++i){
         for(j=;j^;++j){
             if(n%i==){
                 b[j]=(b[j]+lucas(i,n,j))%a[j];
                 if(i*i!=n)
                     b[j]=(b[j]+lucas(n/i,n,j))%a[j];
             }
         }
     }
     --mod;
     ll x,y;
     for(i=;i^;++i){
         exgcd(mod/a[i],a[i],x,y);
         x=(x%a[i]+a[i])%a[i];
         ans=(ans+x*(mod/a[i])%mod*b[i])%mod;
     }
     ++mod;
     printf("%lld\n",Pow(g,ans));
     return ;
 }