【线性代数】2-6:三角矩阵( $A=LU$ and $A=LDU$ )

title: 【线性代数】2-6:三角矩阵( A=LUA=LUA=LU and A=LDUA=LDUA=LDU )

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categories:

• Mathematic
• Linear Algebra
  
  date: 2017-09-12 15:41:12
  
  keywords:
• A=LU
• A=LDU
• Factorization

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Abstract: 如何将矩阵分解成三角矩阵

Keywords: A=LU,A=LDU,Factorization

开篇废话

今晚苹果要新版本iPhone了，不知不觉iPhone已经十年了，然而我只用过iPhone4和6，技术的不断创新，给人们带来了方便，也改变了产业结构和生活方式，这应该与自然的变迁类似，无法阻挡的历史潮流，人类一切的进步都源自于对未知事物的探索，希望各位继续努力，为人类的进步，为人类与自然的和谐相处努力。

Factorization

因式分解，开始学的时候肯定是分解多项式，将一串长的式子分解成几个因式相乘的形式，矩阵也可以，把一个矩阵分解成几个矩阵相乘的形式，但是问题来了，从表述上看，多项式分解的结果是整体变得简单了，但是矩阵分解好像越分越多啊，是多了，但是多出来这些矩阵都很有特点，他们的形状固定，大部分元素是0.

回想一下消元的过程

A to U

E21A=[10−31][2168]=[2105]=U
E_{21}A=
\begin{bmatrix}1&0\newline -3&1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}2&1\newline 6&8\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}2&1\newline 0&5\end{bmatrix}=U
E21​A=[1​0−3​1​][2​16​8​]=[2​10​5​]=U

U to A

E21−1U=[1031]=[2105]=[2168]=AU
E_{21}^{-1}U=
\begin{bmatrix}1&0\newline 3&1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}2&1\newline 0&5\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}2&1\newline 6&8\end{bmatrix}=A
U
E21−1​U=[1​03​1​]=[2​10​5​]=[2​16​8​]=AU

从U到A的过程就是我们今天的男一号，A=LUA=LUA=LU

消元的解释说明

1:E−1E^{-1}E−1 都是lower triangular 下三角矩阵，对角线元素全部为1

2:E−1E^{-1}E−1 就是LLL，把U变回A的系数矩阵

3:每个消元系数lijl_{ij}lij​ 只会把对应的（i，j）位置的元素干掉，不会影响其他位置，尤其是已经完成消元的位置

A=LUA=LUA=LU

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