2019HDU多校第六场1009 Three Investigators——杨表
题意
给定一个 n 个元素的数列,从前 k 个元素中取5次不下降子序列,求取得的和的最大值(k从1至n)
分析
考虑将数字 a[i] 拆成 a[i] 个 a[i],比如 “4,1,2”→“4,4,4,4,1,2,2”,则问题转化为:找到最多 5 个不共享元素的不下降子序列,使得这些子序列包含的元素总量最多。可以证明,这等于杨氏图表前 5 层的长度之和。(手动模拟一下就能发现)
考虑杨氏图表求解答案的过程:
- 从 1 到 n 依次考虑序列中的每个数,将其插入杨氏图表的第一层中。
- 插入 x 时,如果 x 不小于这一层的最大的数,则将 x 放在这一层的末尾;否则找到大于 x 的最小的数 y,将 y 替换为 x,并将 y 插入下一层。
因为每一层的元素都有序,所以可以用数组维护,寻找 y 的过程可以用二分查找加速。
但是对于本题来说,我们不能暴力地插入 a[i] 个 a[i]。考虑将杨表每一层中相同的元素合 并,用 std::map 记录每个元素的个数,那么当我们一次性插入 x 个 x 时,只需要将其插入 std::map 中,然后不断消费后继,将后继的元素个数减少即可,在减少的时候要将其作为 “p 个 q” 插入下一层中。 每一类数字被消费完毕后需要及时从 std::map 中删除,而每次插入会导致最多一种其它 数字被拆分,所以每层的插入次数至多为上一层的两倍。
假设要求不超过 k 个子序列的答案,本题中 k = 5,则时间复杂度为 $O(2^kn log n)$。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll;
const int K=;
map<int, ll>T[K];
ll ans;
int n; //在第o行插入p个x
void insert(int o,int x,ll p){
if(o>=K)return;
T[o][x]+=p;
ans+=p;
while(p){
map<int,ll>::iterator it=T[o].lower_bound(x+);
if(it==T[o].end())return;
ll t=min(p,it->second);
ans-=t;
p-=t;
insert(o+,it->first,t);
if(t==it->second)T[o].erase(it);else it->second-=t;
}
} int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
scanf("%d", &n);
ans = ;
for(int i=;i<K;i++) T[i].clear();
for(int i = ;i <= n;i++)
{
int tmp;
scanf("%d", &tmp);
insert(, tmp, tmp);
printf("%lld%c", ans, i == n ? '\n' : ' ');
}
}
return ;
}
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