【xsy1103】随机数表（RanMat）矩阵快速幂

题目大意：你生成了一个随机数表，生成机制是这样子的：

$a[i]=A1a[i-1]+A2(2≤i≤m)$

$b[i]=B1b[i-1]+B2(2≤i≤m)$

$M[1][y]=a[y]%P，(1≤y≤m)$

$M[x][1]=b[x]%P，(2≤x≤n)$

$M[x][y]=(\sum\limits_{i=1}^{x-1}\sum\limits_{j=1}^{y-1} M[i][j])%P，(2≤x≤n，2≤y≤m)$

有$k$组询问，每次问你$M[x][y]$的值。

数据范围：$n≤50$，$m≤10^9$，$k≤10$，$P≤32768$

我们考虑$y=1$和$x=1$的情况，这两种情况直接等于$a$或$b$，直接矩阵快速幂就可以了。

对于非这两种的情况，我们考虑一个$1\times n+2$的矩阵

我们用这个矩阵的前$n$个数表示第i行的前缀和，第$n+1$个数为$M[1][j]$的值，第$n+2$个数恒为$1$，大概长这样：

$\begin{bmatrix}
s(1,i),s(2,i)\cdots s(n-1,i),s(n,i),a[i],1
\end{bmatrix}$

其中$s(x,y)=\sum\limits_{i=1}^{y} M[x][i]$

然后，我们考虑构造一个矩阵，使得上面这个矩阵乘上它后，可以变成

$\begin{bmatrix}
s(1,i+1),s(2,i+1)\cdots s(n-1,i+1),s(n,i+1),a[i+1],1
\end{bmatrix}$

不难推出这个矩阵是长这样的：

$\begin{bmatrix}1 , 1 , 1 ,\cdots 1 , 0 , 0\\0,1,1,\cdots 1,0,0\\0,0,1,\cdots 1,0,0\\ \vdots \ \ \ \ \ddots \ \ \ \ \ \ \vdots
\\ 0,0,0,\cdots 1,0,0\\
A1,0,0,\cdots A1,0\\
A2,0,0,\cdots A2,0\\ \end{bmatrix} $

假设我们需要求$M[x][y]$，我们可以通过矩阵快速幂，先求出

$\begin{bmatrix}
s(1,y-1),s(2,y-1)\cdots s(n-1,y-1),s(n,y-1),a[y-1],1
\end{bmatrix}$

然后$M[x][y]$显然等于$\sum\limits_{i=1}^{x-1} s(i,y-1)$。

然后就做完了。

完结撒花

 #include<bits/stdc++.h>
 #define M 55
 using namespace std;
 int MOD;
 struct mat{
     int a[M][M],n,m; mat(){memset(a,,sizeof(a));}
     mat(int nn,int mm){n=nn; m=mm; memset(a,,sizeof(a));}
     int* operator [](int x) {return a[x];}
     friend mat operator *(mat a,mat b){
         mat c=mat(a.n,b.m);
         for(int i=;i<=c.n;i++)
         for(int j=;j<=c.m;j++)
         for(int k=;k<=b.n;k++)
         c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%MOD;
         return c;
     }
     void dw(){memset(a,,sizeof(a)); for(int i=;i<=n;i++) a[i][i]=;}
     friend mat operator ^(mat a,int b){
         mat ans=mat(a.n,a.m); ans.dw();
         while(b){
             if(b&) ans=ans*a;
             a=a*a; b>>=;
         }
         return ans;
     }
 };

 int n,m;
 int a[M]={},A1,A2,B1,B2;
 int main(){
     cin>>n>>m>>MOD;
     cin>>a[]>>B1>>B2;cin>>A1>>A2;
     for(int i=;i<=n;i++) a[i]=(a[i-]*A1+A2)%MOD;

     mat f=mat(n+,n+),g=mat(,n+);
     for(int i=;i<=n;i++) g[][i]=a[i];
     g[][n+]=a[]; g[][n+]=;

     for(int i=;i<=n;i++) for(int j=;j<=i;j++) f[j][i]=;
     f[n+][]=f[n+][n+]=B1;
     f[n+][]=f[n+][n+]=B2;
     f[n+][n+]=;

     int q; scanf("%d",&q);
     while(q--){
         int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
         if(y==) {printf("%d\n",a[x]); continue;}
         mat F=f^(y-);
         mat ans=g*F;
         if(x==) {
             ans=ans*f;
             printf("%d\n",ans[][n+]);
             continue;
         }
         int sum=;
         for(int i=;i<x;i++) sum=(sum+ans[][i])%MOD;
         printf("%d\n",sum);
     }
 }