2018牛客网暑假ACM多校训练赛（第三场）I Expected Size of Random Convex Hull 计算几何,凸包,其他

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题目传送门 - 2018牛客多校赛第三场 I

题意

　　在一个给定的三角形内部随机选择 $n$ 个点，问这些点构成的凸包的期望顶点数。

　　$3\leq n\leq 10$

题解

　　首先证明一个结论，对于任意三角形，随机撒 $n$ 个点的期望点数相同。

　　简单口胡：考虑任意拉扯三角形，三角形内部多边形的凸性都不会改变。

　　所以，我们只需要随便选择一个三角形，然后随机选点很多次，建出凸包，得到顶点数，然后算一算平均值，就可以得到答案了。

　　注意随机选点次数至少好几亿吧。

　　我赛后代码跑了大约 25 分钟才跑出来。

代码1 - 打表

%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=20;
int n;
struct Point{
	int x,y;
	Point(){}
	Point(int _x,int _y){
		x=_x,y=_y;
	}
}P[N],O;
LL cross(Point a,Point b,Point c){
	return 1LL*(b.x-a.x)*(c.y-a.y)-1LL*(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
int Drand(){
	return (int)((((rand()&32767)<<10)+(rand()&1024))&33554431);
}
LL sqr(int x){
	return 1LL*x*x;
}
LL dis(Point a,Point b){
	return sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y);
}
bool cmp_O(Point a,Point b){
	if (a.y==b.y)
		return a.x<b.x;
	return a.y<b.y;
}
bool cmp_Angle(Point a,Point b){
	LL c=cross(O,a,b);
	if (c==0)
		return dis(O,a)<dis(O,b);
	return c>0;
}
int st[N],top;
int Convex(){
	for (int i=2;i<=n;i++)
		if (!cmp_O(P[1],P[i]))
			swap(P[1],P[i]);
	O=P[1];
	sort(P+2,P+n+1,cmp_Angle);
	top=0;
	st[++top]=1,st[++top]=2;
	for (int i=3;i<=n;i++){
		while (top>=2&&cross(P[st[top-1]],P[st[top]],P[i])<=0)
			top--;
		st[++top]=i;
	}
	return top;
}
int main(){
freopen("list.txt","w",stdout);
	srand(time(NULL));
for (int i=3;i<=10;i++){
	n=i;
	int tot=200000000,ttt=tot;
	int ans=0;
	while (tot--){
		for (int i=1;i<=n;i++)
			while (1){
				P[i]=Point(Drand(),Drand());
				if (P[i].y<=P[i].x)
					break;
			}
		ans+=Convex();
	}
	printf("%.6lf\n",((double)ans)/ttt);
}
	return 0;
}

　　

代码2 - AC 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double ans[11]={
0,0,0,
3.000000,
3.666719,
4.166715,
4.566691,
4.899998,
5.185735,
5.435731,
5.657986
};
int main(){
	int n;
	for (int i=1;i<=7;i++)
		scanf("%d",&n);
	printf("%.6lf",ans[n]);
	return 0;
}