【数学建模】day07-数理统计II

方差分析和回归分析。

用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance），记作 ANOVA。

比如：从用不同工艺制作成的灯泡中，各自抽取了若干个测量寿命，腿短这几种工艺制成的灯泡是否有显著差异；用几种化肥和几种小麦品种种子在若干试验田里种植小麦，腿短不同的化肥和小麦品种对产量有无显著影响。

简而言之，就是对影响指标（实验的结果）的诸多因素进行分析，找出有显著影响的因素。不同的因素叫做一个水平。比如，用化肥1、品种1就是因素处于一个水平，达到指标1（产量），用方差分析的方法得到的是某个因素对指标的影响是不是显著的，比如用化肥1还是2这个因素对产量影响是否是显著的。

单因素方差分析 只考虑一个因素 A对所关心的指标的影响， A取几个水平，在每个水平上作若干 个试验，试验过程中除 A外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我 们的任务是从试验结果推断，因素 A对指标有无显著影响，即当 A取不同水平时指标 有无显著差别。

方差分析的理论推导（建模写作必备）见《数学建模算法与应用》。

MATLAB实现：

1. 单因素方差分析

1）均衡数据（单因素A的每个水平取样数相同）

p = anoval(x)

param:

x：m*r的矩阵，m是每个水平取样数，r是A因素的水平数。即，x的一列是一个水平的取样数据。

return:

p是一个概率，当p>α（α默认0.05）时接受H0，否则拒绝H0。接受H0说明A因素对于指标没有显著影响，也即没有差异；拒绝H0说明是有显著影响的。

此外，还输出一个方差表和Box图。

注意：接受H0 ，是将 5 名工人的生产率作为一个整体进行假设检验的结果，并不表 明取其中 2 个工人的生产率作两总体的均值检验时，也一定接受均值相等的假设。

例子：

2) 非均衡数据（单因素的各个水平取样数不同）

p = anoval(x,group)；

param：

x ：为向量，从第 1 组到第r 组数据依次排列；

group： 为与 x 同长度的向量，标志 x 中数据的组别（在与 x 第i组数据相对应的位置处输入整数 ) 。也就是group向量的每一个数说明x的一个数是属于哪个组。

例子：

2. 双因素方差分析

统计工具箱中用 anova2 作双因素方差分析。命令为

p=anova2(x,reps)

param:

x :不同列的数据表示单一因素的变化情况，不同行中的数据表示另一因素的变化情 况。

如果每种行—列对（“单元”）有不止一个的观测值，则用参数 reps 来表明每个“单 元”多个观测值的不同标号，即 reps 给出重复试验的次数t。

例子：

2. 回归分析

回归分析与曲线拟合区分。

曲线拟合是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或几个）自变量之间的一个函数，使这个函数对那组数据拟合得好。通常，函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要 作的工作是由数据用小二乘法计算函数中的待定系数。

但是，从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。可以用方差分析 方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。

简而言之：回归分析就是对拟合问题作的统计分析。

1）必备的知识（重点）

数理统计样本方差，样本均值、期望、方差、k阶矩、k阶中心距的概念。

数据的标准化处理：

2）一元线性回归

1. 用最小二乘法求出回归系数（即回归方程的待定系数）。

2. 拟合效果分析

看以下几个标度：

a. 残差的样本方差（标准差）

拟合方程求出的y与真实的y之差叫残差。求这个残差的方差。越小越精确。

b. 判定系数（拟合优度）

建立一元线性回归模型的目的， 就是试图以x 的线性函数来解释 y 的变异。

->求样本的y的方差，记做SST：

->求回归方程求出的y估的方差，记做SSR：

->SSE = SST - SSR，即为残差平方和：

->可以看到: SSE = SST - SSR; dfT = dfR + dfE;

从上式可以看出，y 的变异是由两方面的原因引起的；一是由于x 的取值不同，而 给 y 带来的系统性变异；另一个是由除 x以外的其它因素的影响。

也就是说：

从而，可以指定判定如下：

定义一个测量标准来说明回归方程对原始数据的拟合程度，这就是所谓 的判定系数，有些文献上也称之为拟合优度。

3. 显著性检验

一元线性回归，我们假设的是y和x是线性关系，但这个线性关系的假定是否靠谱，还要进行显著性检验。

换句话说，β1系数就是线性程度，若β1趋向0，则线性关系不显著。

假设检验：

H0：β1 = 0；

H1：β1 ≠ 0；

检验统计量（推导见课本）：

传统检验，若接受H0，则线性关系不显著。

4. 回归系数的显著性检验

回归参数的检验是考察每一个自变量对因变量的影响是否显著。换句话说，就是要 检验每一个总体参数是否显著不为零。

也就是说，若某一个回归系数接近0，那么这个对应的变量对y的影响就是不显著的。我们对每一个回归系数进行是否等于0的假设检验，得到显著性分析。

对于每一个βi，检验：

H0：βi = 0；

H1：βi ≠ 0；

检验统计量为：

决策为：

5. 利用回归方程进行预测

这里有点估计、区间估计。

点预测代数即可。

区间预测比较复杂，用到需要查阅。

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多元线性回归的步骤与上述类似，回归系数更多，检验统计量不同，用到的时候查阅即可。而且，某些判定标准也有出入，用到需要仔细研读《数学建模算法与应用》。

接下来要继续的：

MATLAB中的多元线性回归：（记忆的）

（多项式的，一次的，二次的。。。）

偏相关系数。

逐次回归（重要）。

岭估计（岭回归）。

主成分估计。