【ZJOI2017】仙人掌

【ZJOI2017】仙人掌

参考博客：https://www.cnblogs.com/wfj2048/p/6636028.html

我们先求出\(dfs\)树(就是\(dfs\)一遍)，然后问题就变成了树形\(DP\)。

我们先判断无解：就用定义来判断，如果一条边出现在多个环里面就无解。

然后我们将所有在环上的边拆了，因为这些边不可能再出现在一个新的环中。于是我们得到了一个森林。

我们设\(f_v\)表示以\(v\)为根的子树得到仙人掌的方案数。\(ans=\prod_{v\ is\ root} f_v\)。

首先我们考虑子树之间不连边，容易得到：\(f_v=\prod f_{son_v}\)，也就是所有子树\(f\)之积。

然后我们观察子树之间的连边：一个子树最多只会连出去一条边，也就是只会两两配对连边。我们设\(g_v\)表示有\(v\)个子树两两之间连边的方案数，则：

\[g_v=g_{v-1}+(v-1)*g_{v-2}
\]

这个转移的意义是考虑第\(v\)个点连不连边，如果不连，方案数就是其他\(v-1\)个点连边的方案；如果连，就从之前的\(v-1\)个点中任选一个相连，剩下的再连边。

设\(|sn_v|\)表示\(v\)的儿子个数。则\(f_v=g_{|sn_v|}*\prod f_{son_v}\)。

我的理解是：假设\(v\)的两个儿子\(a,b\)的子树之间要连边，设\(e_a,e_b\)分别表示\(a\)到\(v\)和\(b\)到\(v\)的边，那么我们一定是将之前覆盖了\(e_a\)和\(e_b\)的两个环的起点（深度最深的那个点，如果没有，就是\(a,b\)）连接在一起。所以答案是\(g_{|sn_v|}\)乘上所有子树中连边的方案数。

但是\(v\)的子树中还可以向\(v\)的父亲连边。我们就把\(v\)的父亲也看做一个子节点。所以：

\[\begin{cases}
f_v=g_{|sn_v|}*\prod f_{sn_v}\ (v\ is\ not\ root)\\
f_v=g_{|sn_v|+1}*\prod f_{sn_v}\ (v\ is\ root)
\end{cases}
\]

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 1000005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=998244353;
int n,m;
int x[N],y[N];
struct graph {
	int cnt,to[N<<2],nxt[N<<2];
	int h[N<<1];
	void add(int i,int j) {
		to[++cnt]=j;
		nxt[cnt]=h[i];
		h[i]=cnt;
	}
	void Init() {
		cnt=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) h[i]=0;
	}
}s;

ll f[N],g[N];
int dfn[N],id;
int dep[N],fa[N];
int tim[N];
void dfs(int v) {
	dfn[v]=++id;
	for(int i=s.h[v];i;i=s.nxt[i]) {
		int to=s.to[i];
		if(dfn[to]) continue ;
		fa[to]=v;
		dep[to]=dep[v]+1;
		dfs(to);
	}
}

bool cmp(int a,int b) {return dep[a]<dep[b];}

bool vis[N];
void DP(int v,int flag) {
	vis[v]=1;
	f[v]=1;
	int sn=0;
	for(int i=s.h[v];i;i=s.nxt[i]) {
		int to=s.to[i];
		if(tim[to]>1) continue ;
		if(to==fa[v]||fa[to]!=v) continue ;
		sn++;
		DP(to,0);
		f[v]=f[v]*f[to]%mod;
	}
	if(flag) f[v]=f[v]*g[sn]%mod;
	else f[v]=f[v]*g[sn+1]%mod;
}

int st[N];
void work() {
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int a=x[i],b=y[i];
		if(dfn[a]<dfn[b]) swap(a,b);
		while(a!=b) {
			tim[a]++;
			if(tim[a]>2) {
				cout<<0<<"\n";
				return ;
			}
			a=fa[a];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) st[i]=i;
	sort(st+1,st+1+n,cmp);
	ll ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int now=st[i];
		if(vis[now]) continue ;
		DP(now,1);
		ans=ans*f[now]%mod;
	}
	cout<<ans<<"\n";
}

void Init() {
	s.Init();
	for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=tim[i]=fa[i]=dfn[i]=dep[i]=0;
	id=0;
}

int main() {
	g[0]=g[1]=1;
	for(int i=2;i<=500005;i++) g[i]=(g[i-1]+g[i-2]*(i-1))%mod;
	int T=Get();
	while(T--) {
		n=Get(),m=Get();
		Init();
		for(int i=1;i<=m;i++) {
			x[i]=Get(),y[i]=Get();
			s.add(x[i],y[i]),s.add(y[i],x[i]);
		}
		dep[1]=1;
		dfs(1);
		work();
	}
	return 0;
}