二分查找

基本概念

  • 二分查找是一种算法,其输入是一个有序的元素列表。如果要查找的元素包含在列表中,二分查找返回其位置;否则返回null。
  • 使用二分查找时,每次都排除一半的数字
  • 对于包含n个元素的列表,用二分查找最多需要log2n步,而简单查找最多需要n步。
  • 示例:

    如果列表包含8个数字,你最多需要检查8个数字。

    而使用二分查找时,最多需要检查log n个元素。如果列表包含8个元素,你最多需要检查3个元素,因为log 8 = 3( 23 = 8)。

  注意:仅当列表是有序的时候,二分查找才管用

  • 数组:将一系列元素存储在一系列相邻的桶(bucket),即数组。数组从0开始编号:位置依次分别为#0,#1….

python算法

def binary_search(l,item):
low=0
high=len(l)-1
while low<=high:
mid=(low+high)//2
guess=l[mid]
if guess==item:
return mid
if guess>item:
high=mid-1
else:
low=mid+1
return None my_list=[1,3,5,7,9]
print(binary_search(my_list,3))
print(binary_search(my_list,-3)) 运行结果:
1
None

  

运行时间

  • 一般而言,应选择效率最高的算法,以最大限度地减少运行时间或占用空间。
  • 最多需要猜测的次数与列表长度相同,这被称为线性时间(linear time)。
  • 二分查找的运行时间为对数时间(或log时间)
  • 示例:

    列表包含100个数字,简单查找最多需要猜100次。二分查找最多需要7次

    O(n):线性时间

    O(log n):对数时间

大O表示法

大O表示法是一种特殊的表示法,指出了算法的速度有多快

算法的运行时间以不同的速度增加

  • 二分查找和简单查找的运行时间的增速不同
  • 示例:

元素个数

简单查找

二分法查找

100个元素

100ms

7ms

10000个元素

10s

14ms

1000000000个元素

11day

32ms

  随着元素数量的增加,二分查找需要的额外时间并不多,而简单查找需要的额外时间却很多。

  因此,随着列表的增长,二分查找的速度比简单查找快得多。

  • 大O表示法用处:仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够,还需知道运行时间如何随列表增长而增加。
  • 大O表示法是为了能够比较操作数,它指出了算法运行时间的增速。

    如:假设列表包含n个元素,

      简单查找:需要检查每个元素,因此需要执行n次操作。使用大O表示法,这个运行时间为O(n)。无单位。

      二分查找:需要执行log n次操作。使用大O表示法,这个运行时间为O(log n)

  • 大O表示法格式:O(n),n为操作数
  • 大 O 表示法指出了最糟情况下的运行时间

常见的大O运行时间

  • 5种大O运行时间

     O(log n),也叫对数时间,这样的算法包括二分查找。

     O(n),也叫线性时间,这样的算法包括简单查找。

     O(n * log n),这样的算法包括第4章将介绍的快速排序——一种速度较快的排序算法。

     O(n2),这样的算法包括第2章将介绍的选择排序——一种速度较慢的排序算法。

     O(n!),这样的算法包括接下来将介绍的旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法

  PS:

  • 算法的速度指的并非时间,而是操作数的增速。
  • 谈论算法的速度时,我们说的是随着输入的增加,其运行时间将以什么样的速度增加。
  • 算法的运行时间用大O表示法表示。
  • O(log n)比O(n)快,当需要搜索的元素越多时,前者比后者快得越多。

阶乘时间

阶乘时间:需要执行n!(n的阶乘)次操作才能计算出结果,运行时间为O(n!)

小结

  • 二分查找的速度比简单查找快得多。
  • O(log n)比O(n)快。需要搜索的元素越多,前者比后者就快得越多。
  • 算法运行时间并不以秒为单位。
  • 算法运行时间是从其增速的角度度量的。
  • 算法运行时间用大O表示法表示。

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