【算法】二分查找法&大O表示法

二分查找

基本概念

• 二分查找是一种算法，其输入是一个有序的元素列表。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回null。
• 使用二分查找时，每次都排除一半的数字
• 对于包含n个元素的列表，用二分查找最多需要log2n步，而简单查找最多需要n步。
• 示例：

　　　　如果列表包含8个数字，你最多需要检查8个数字。

　　　　而使用二分查找时，最多需要检查log n个元素。如果列表包含8个元素，你最多需要检查3个元素，因为log 8 = 3（ 23 = 8）。

　　注意：仅当列表是有序的时候，二分查找才管用

• 数组：将一系列元素存储在一系列相邻的桶（bucket），即数组。数组从0开始编号：位置依次分别为#0，#1….

python算法

def binary_search(l,item):
    low=0
    high=len(l)-1
    while low<=high:
        mid=(low+high)//2
        guess=l[mid]
        if guess==item:
            return mid
        if guess>item:
            high=mid-1
        else:
            low=mid+1
    return None

my_list=[1,3,5,7,9]
print(binary_search(my_list,3))
print(binary_search(my_list,-3))

运行结果：
1
None

　　

运行时间

• 一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。
• 最多需要猜测的次数与列表长度相同，这被称为线性时间（linear time）。
• 二分查找的运行时间为对数时间（或log时间）
• 示例：

　　　　列表包含100个数字，简单查找最多需要猜100次。二分查找最多需要7次

　　　　O(n)：线性时间

　　　　O(log n)：对数时间

大O表示法

大O表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快

算法的运行时间以不同的速度增加

• 二分查找和简单查找的运行时间的增速不同
• 示例：

元素个数	简单查找	二分法查找
100个元素	100ms	7ms
10000个元素	10s	14ms
1000000000个元素	11day	32ms

　　随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。

　　因此，随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。

• 大O表示法用处：仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。
• 大O表示法是为了能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。

　　　　如：假设列表包含n个元素，

　　　　　　简单查找：需要检查每个元素，因此需要执行n次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(n)。无单位。

　　　　　　二分查找：需要执行log n次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(log n)

• 大O表示法格式：O(n)，n为操作数
• 大 O 表示法指出了最糟情况下的运行时间

常见的大O运行时间

• 5种大O运行时间

　　　　 O(log n)，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。

　　　　 O(n)，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。

　　　　 O(n * log n)，这样的算法包括第4章将介绍的快速排序——一种速度较快的排序算法。

　　　　 O(n2)，这样的算法包括第2章将介绍的选择排序——一种速度较慢的排序算法。

　　　　 O(n!)，这样的算法包括接下来将介绍的旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法

　　PS：

• 算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。
• 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度增加。
• 算法的运行时间用大O表示法表示。
• O(log n)比O(n)快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快得越多。

阶乘时间

阶乘时间：需要执行n!（n的阶乘）次操作才能计算出结果，运行时间为O(n!)

小结

• 二分查找的速度比简单查找快得多。
• O(log n)比O(n)快。需要搜索的元素越多，前者比后者就快得越多。
• 算法运行时间并不以秒为单位。
• 算法运行时间是从其增速的角度度量的。
• 算法运行时间用大O表示法表示。