【算法】二分查找法&大O表示法

二分查找

基本概念

二分查找是一种算法，其输入是一个有序的元素列表。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回null。
使用二分查找时，每次都排除一半的数字
对于包含n个元素的列表，用二分查找最多需要log2n步，而简单查找最多需要n步。
示例：

　　　　如果列表包含8个数字，你最多需要检查8个数字。

　　　　而使用二分查找时，最多需要检查log n个元素。如果列表包含8个元素，你最多需要检查3个元素，因为log 8 = 3（ 23 = 8）。

　　注意：仅当列表是有序的时候，二分查找才管用

数组：将一系列元素存储在一系列相邻的桶（bucket），即数组。数组从0开始编号：位置依次分别为#0，#1….

python算法

def binary_search(l,item):

    low=0

    high=len(l)-1

    while low<=high:

        mid=(low+high)//2

        guess=l[mid]

        if guess==item:

            return mid

        if guess>item:

            high=mid-1

        else:

            low=mid+1

    return None

my_list=[1,3,5,7,9]

print(binary_search(my_list,3))

print(binary_search(my_list,-3))

运行结果：

1

None

运行时间

一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。
最多需要猜测的次数与列表长度相同，这被称为线性时间（linear time）。
二分查找的运行时间为对数时间（或log时间）
示例：

　　　　列表包含100个数字，简单查找最多需要猜100次。二分查找最多需要7次

　　　　O(n)：线性时间

　　　　O(log n)：对数时间

大O表示法

大O表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快

算法的运行时间以不同的速度增加

二分查找和简单查找的运行时间的增速不同
示例：

元素个数	简单查找	二分法查找
100个元素	100ms	7ms
10000个元素	10s	14ms
1000000000个元素	11day	32ms

　　随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。

　　因此，随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。

大O表示法用处：仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。
大O表示法是为了能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。

　　　　如：假设列表包含n个元素，

　　　　　　简单查找：需要检查每个元素，因此需要执行n次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(n)。无单位。

　　　　　　二分查找：需要执行log n次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(log n)

大O表示法格式：O(n)，n为操作数
大 O 表示法指出了最糟情况下的运行时间

常见的大O运行时间

5种大O运行时间

　　　　 O(log n)，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。

　　　　 O(n)，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。

　　　　 O(n * log n)，这样的算法包括第4章将介绍的快速排序——一种速度较快的排序算法。

　　　　 O(n2)，这样的算法包括第2章将介绍的选择排序——一种速度较慢的排序算法。

　　　　 O(n!)，这样的算法包括接下来将介绍的旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法

　　PS：

算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。
谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度增加。
算法的运行时间用大O表示法表示。
O(log n)比O(n)快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快得越多。

阶乘时间

阶乘时间：需要执行n!（n的阶乘）次操作才能计算出结果，运行时间为O(n!)

小结

二分查找的速度比简单查找快得多。
O(log n)比O(n)快。需要搜索的元素越多，前者比后者就快得越多。
算法运行时间并不以秒为单位。
算法运行时间是从其增速的角度度量的。
算法运行时间用大O表示法表示。