【bzoj2877】 Noi2012—魔幻棋盘

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2877 (题目链接)

题意

　　一个${n*m}$的矩阵，维护两个操作：给任意子矩阵${+val}$；问某一包含点${(X,Y)}$的矩阵内元素的gcd。

Solution

　　左转题解，参见PoPoQQQ，写的蛮详细的，像我这种没写过树套树的都会了→_→。

　　代码也是模着PoPoQQQ大爷的写的，边界真的好蛋疼。

　　对于不能用以任意一点为差分中心的原因，我有一点自己的看法。我们考虑之所以差分后的数组的gcd与原数组的gcd相等是为什么，不是更相减损吗，考虑一维的情况，如果我们本来要求${gcd(a_2,a_3,a_4,a_5)}$，我们以${a_1}$为中心差分的话，那么就成了求解差分数组的${gcd(a_2-a_1,a_3-a_2,a_4-a_3,a_5-a_4)}$，这就不符合更相减损术了，因为里面莫名其妙混进了个${a_1}$。为了避免这种情况，我们以一定包含在询问矩阵内的${(X,Y)}$为中心差分，这就保证了差分后每一个询问矩阵中不包含在矩阵外的原矩阵的元素。也就是说，如果没有${(X,Y)}$一定包含在询问矩阵中这个条件的话，这个题应该是做不了的。

细节

　　这里并没有给出${n,m}$的具体范围，所以我们需要使用黑科技读入矩阵。

　　LL，边界的分类讨论注意别写错点的坐标。

代码

// bzoj2877
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long
#define inf 2147483640
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;

const int maxn=500010;
int n,m,Q,X,Y,rt,sz;

struct segtree {int l,r,ls,rs,tree;LL val;}tr[maxn<<4];
struct array {   //来自PoPoQQQ的黑科技
	LL t[maxn];
	LL* operator [] (int x) {return &t[(x-1)*m];}
}a;

LL gcd(LL a,LL b) {
	return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

namespace Col {
	void build(int &k,int s,int t,int p) {
		k=++sz;tr[k].l=s,tr[k].r=t;
		if (s==t) {tr[k].val=a[p][s];return;}
		int mid=(s+t)>>1;
		build(tr[k].ls,s,mid,p);
		build(tr[k].rs,mid+1,t,p);
		tr[k].val=gcd(tr[tr[k].ls].val,tr[tr[k].rs].val);
	}
	void modify(int k,int p,LL val) {
		int l=tr[k].l,r=tr[k].r,mid=(l+r)>>1;
		if (l==r) {tr[k].val+=val;return;}
		if (p<=mid) modify(tr[k].ls,p,val);
		else modify(tr[k].rs,p,val);
		tr[k].val=gcd(tr[tr[k].ls].val,tr[tr[k].rs].val);
	}
	LL query(int k,int s,int t) {
		int l=tr[k].l,r=tr[k].r,mid=(l+r)>>1;
		if (l==s && r==t) return tr[k].val;
		if (t<=mid) return query(tr[k].ls,s,t);
		else if (s>mid) return query(tr[k].rs,s,t);
		else return gcd(query(tr[k].ls,s,mid),query(tr[k].rs,mid+1,t));
	}
}	

namespace Row {
	void merge(int &k,int k1,int k2,int s,int t) {
		if (!k) k=++sz,tr[k].l=s,tr[k].r=t;
		int mid=(s+t)>>1;
		if (s==t) {tr[k].val=gcd(tr[k1].val,tr[k2].val);return;}
		merge(tr[k].ls,tr[k1].ls,tr[k2].ls,s,mid);
		merge(tr[k].rs,tr[k1].rs,tr[k2].rs,mid+1,t);
		tr[k].val=gcd(tr[tr[k].ls].val,tr[tr[k].rs].val);
	}
	void build(int &k,int s,int t) {
		k=++sz;tr[k].l=s,tr[k].r=t;
		if (s==t) {Col::build(tr[k].tree,1,m,s);return;}
		int mid=(s+t)>>1;
		build(tr[k].ls,s,mid);
		build(tr[k].rs,mid+1,t);
		merge(tr[k].tree,tr[tr[k].ls].tree,tr[tr[k].rs].tree,1,m);
	}
	void modify(int k,int x,int y,LL val) {
		int l=tr[k].l,r=tr[k].r,mid=(l+r)>>1;
		if (l==r) {Col::modify(tr[k].tree,y,val);return;}
		if (x<=mid) modify(tr[k].ls,x,y,val);
		else modify(tr[k].rs,x,y,val);
		LL lval=Col::query(tr[tr[k].ls].tree,y,y);
		LL rval=Col::query(tr[tr[k].rs].tree,y,y);
		LL mval=Col::query(tr[k].tree,y,y);
		Col::modify(tr[k].tree,y,gcd(lval,rval)-mval);
	}
	LL query(int k,int x1,int y1,int x2,int y2) {
		int l=tr[k].l,r=tr[k].r,mid=(l+r)>>1;
		if (l==x1 && r==x2) return Col::query(tr[k].tree,y1,y2);
		if (x2<=mid) return query(tr[k].ls,x1,y1,x2,y2);
		else if (x1>mid) return query(tr[k].rs,x1,y1,x2,y2);
		else return gcd(query(tr[k].ls,x1,y1,mid,y2),query(tr[k].rs,mid+1,y1,x2,y2));
	}
}
using namespace Row;

int main() {
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&X,&Y,&Q);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++) scanf("%lld",&a[i][j]);
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		for (int j=1;j<Y;j++) a[i][j]-=a[i][j+1];
		for (int j=m;j>Y;j--) a[i][j]-=a[i][j-1];
	}
	for (int j=1;j<=m;j++) {
		for (int i=1;i<X;i++) a[i][j]-=a[i+1][j];
		for (int i=n;i>X;i--) a[i][j]-=a[i-1][j];
	}
	build(rt,1,n);
	for (int op,x1,y1,x2,y2,i=1;i<=Q;i++) {
		scanf("%d%d%d%d%d",&op,&x1,&y1,&x2,&y2);
		if (op==0) {
			x1=X-x1;y1=Y-y1;x2=X+x2;y2=Y+y2;
			printf("%lld\n",abs(query(rt,x1,y1,x2,y2)));
		}
		else {
			LL val;scanf("%lld",&val);
			//左上端点(x1,y1)
			if (x1<=X && y1<=Y && x1>1 && y1>1) modify(rt,x1-1,y1-1,val);
			else if (x1<=X && y1>Y && x1>1) modify(rt,x1-1,y1,-val);
			else if (x1>X && y1<=Y && y1>1) modify(rt,x1,y1-1,-val);
			else if (x1>X && y1>Y) modify(rt,x1,y1,val);
			//右上端点(x1,y2)
			if (x1<=X && y2>=Y && x1>1 && y2<m) modify(rt,x1-1,y2+1,val);
			else if (x1<=X && y2<Y && x1>1) modify(rt,x1-1,y2,-val);
			else if (x1>X && y2>=Y && y2<m) modify(rt,x1,y2+1,-val);
			else if (x1>X && y2<Y) modify(rt,x1,y2,val);
			//左下端点(x2,y1)
			if (x2>=X && y1<=Y && x2<n && y1>1) modify(rt,x2+1,y1-1,val);
			else if (x2<X && y1<=Y && y1>1) modify(rt,x2,y1-1,-val);
			else if (x2>=X && y1>Y && x2<n) modify(rt,x2+1,y1,-val);
			else if (x2<X && y1>Y) modify(rt,x2,y1,val);
			//右下端点(x2,y2)
			if (x2>=X && y2>=Y && x2<n && y2<m) modify(rt,x2+1,y2+1,val);
			else if (x2>=X && y2<Y && x2<n) modify(rt,x2+1,y2,-val);
			else if (x2<X && y2>=Y && y2<m) modify(rt,x2,y2+1,-val);
			else if (x2<X && y2<Y) modify(rt,x2,y2,val);

			if (x1<=X && x2>=X) {
				//左端点(X,y1)
				if (y1<=Y && y1>1) modify(rt,X,y1-1,-val);
				else if (y1>Y) modify(rt,X,y1,val);
				//右端点(X,y2)
				if (y2>=Y && y2<m) modify(rt,X,y2+1,-val);
				else if (y2<Y) modify(rt,X,y2,val);
			}

			if (y1<=Y && y2>=Y) {
				//上端点
				if (x1<=X && x1>1) modify(rt,x1-1,Y,-val);
				else if (x1>X) modify(rt,x1,Y,val);
				//下端点
				if (x2>=X && x2<n) modify(rt,x2+1,Y,-val);
				else if (x2<X) modify(rt,x2,Y,val);
			}

			if (x1<=X && x2>=X && y1<=Y && y2>=Y) modify(rt,X,Y,val);
		}
	}
	return 0;
}