位运算卷积-FWT

问题

给出两个幂级数 \(f,g\) ，求
\[
h=\sum _i\sum _jx^{i\oplus j}f_ig_j
\]
其中 \(\oplus\) 是可拆分的位运算。

算法

由于位运算具有独立性，可以一位位地考虑。

设 \(f=(f_0,f_1)\) ，即最高位为 0 的部分和最高位为 1 的部分。我们希望把这个卷积转化为点积来做。即
\[
T\begin{bmatrix}f_0 \\f_1 \end{bmatrix}\cdot T\begin{bmatrix}g_0 \\g_1 \end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}h_0 \\h_1 \end{bmatrix}
\]
按照 \(f,g,h\) 的对应关系，对比系数容易得到 \(T\) 。

那么我们就可以先对 \(f,g\) 递归进行上述变换，然后再点积起来，逆变换回去，这样就能得到我们需要的 \(h\) 。显然逆变换可以直接用矩阵 \(T^{-1}\) 做同样的操作。

复杂度为 \(O(nk^2\log n)\) ，\(k\) 为位状态数。

拓展

上面的过程只用到了位运算的可拆分性，所以可以尝试拓展一下。例如更高进制的位运算卷积，可以用完全一样的方法来做。做之前只要定义好位的运算即可。例如 [清华集训2016]石家庄的工人阶级队伍比较坚强 中的三进制卷积，类比二进制异或，定义三进制不进位加法，构造出输赢的异或关系即可。