BZOJ 2339 【HNOI2011】 卡农

题目链接：卡农

　　听说这道题是经典题？

　　首先明确一下题意(我在这里纠结了好久)：有\(n\)个数，要求你选出\(m\)个不同的子集，使得每个数都出现了偶数次。无先后顺序。

　　这道题就是一道数学题。显然我们可以强制有先后顺序，只需要在最后除掉一个\(m!\)即可。令\(f_i\)表示选出\(i\)个子集的方案数，我们来考虑一下怎么算。

　　由于总的方案数很好计算，选出\(i\)个子集的方案就是\(A^{i-1}_{2^n-1}\)，因为一旦选出了前\(i-1\)个，第\(i\)个就已经确定了。

　　我们这样选，可以保证每个数出现了偶数次，但是并不能够保证选出的不是空集以及集合不重复。所以我们来看看不合法的情况有多少。

　　第一种情况，如果前\(i-1\)个就是一个合法方案，那么第\(i\)个只能是空集。这种情况显然不合法，方案数是\(f_{i-1}\)。

　　第二种情况，第\(i\)个集合和之前任意一个冲突了就不行。由于另外还剩\(i-2\)个集合未确定，所以这部分方案数为\((i-1)f_{i-2}(2^n-1-(i-2))\)。第\(i\)个集合可选的方案数为\(2^n-1-(i-2)\)，然后和另外\(i-2\)个一起排列一下还要乘上\(i-1\)。

　　所以这道题就做完了。

　　下面贴代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
#define maxn 1000010
#define mod 100000007

using namespace std;
typedef long long llg;

int n,m,nci;
llg f[maxn],g[maxn],jie;

llg mi(llg a,int b){
	llg s=1;
	while(b){
		if(b&1) s=s*a%mod;
		a=a*a%mod; b>>=1;
	}
	return s;
}

int main(){
	File("a");
	scanf("%d %d",&n,&m);
	nci=(mi(2,n)-1+mod)%mod; g[0]=jie=1;
	for(int i=1;i<=m;i++) g[i]=g[i-1]*(nci-i+1)%mod;
	for(int i=1;i<=m;i++) jie*=i,jie%=mod;
	for(int i=3;i<=m;i++){
		f[i]=g[i-1]-f[i-1];
		f[i]-=(i-1)*f[i-2]%mod*(nci-i+2)%mod;
		f[i]%=mod; if(f[i]<0) f[i]+=mod;
	}
	printf("%lld",f[m]*mi(jie,mod-2)%mod);
	return 0;
}