【bzoj2396】神奇的矩阵 随机化

题目描述

给出三个行数和列数均为N的矩阵A、B、C，判断A*B=C是否成立。

输入

题目可能包含若干组数据。
对于每组数据，第一行一个数N，接下来给出三个N*N的矩阵，依次为A、B、C三个矩阵。

输出

对于每组数据，若A*B=C成立，则输出Yes，否则No。每个答案占一行。

样例输入

1
2
2
100

样例输出

No

---

题解

随机化

如果直接把$A$与$B$的乘积算出来肯定会GG。。

考虑，如果$A*B=C$，那么$T*(A*B)=T*C$，而矩阵乘法具有结合律，因此有$(T*A)*B=T*C$。如果取$T$为$1*n$的行向量，那么每一步矩阵乘法的复杂度都是$O(n^2)$的。

于是可以使用这种方法大致判断出$A*B$是否等于$C$。随机出$T$矩阵，然后判断$(T*A)*B$与$T*C$是否相等即可。大约每组数据随机10次即可出解。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 1010
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[N][N] , b[N][N] , c[N][N] , t[N] , v[N];
bool judge(int n)
{
	int cnt , i , j;
	ll sb , sc;
	for(cnt = 1 ; cnt <= 10 ; cnt ++ )
	{
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) t[i] = rand() % 999 + 1;
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			for(v[i] = 0 , j = 1 ; j <= n ; j ++ )
				v[i] += t[j] * a[j][i];
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		{
			for(sb = sc = 0 , j = 1 ; j <= n ; j ++ )
				sb += v[j] * b[j][i] , sc += t[j] * c[j][i];
			if(sb != sc) return 0;
		}
	}
	return 1;
}
int main()
{
	srand(20011011);
	int n , i , j;
	while(~scanf("%d" , &n))
	{
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
				scanf("%lld" , &a[i][j]);
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
				scanf("%lld" , &b[i][j]);
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
				scanf("%lld" , &c[i][j]);
		if(judge(n)) puts("Yes");
		else puts("No");
	}
	return 0;
}