lxl 学长讲课笔记

常数种可能性的状态

通过预先处理多种状态的信息，从而快速的转换状态。

经典操作：flip。

分析信息的思路

利用线段树

利用线段树的时候，如何合并两个分支区间的信息，我们需要有如下注意：

答案 - 依赖的信息，继续的依赖，这样就能找到需要维护的东西。这终会产生闭包。
合并时，我们只需要考虑跨过分治区间对于答案的贡献，对于不同的情况进行讨论即可。

线段树其实就是十分自然的序列上的分治树，所以我们处理线段树的过程也可以看作分治的过程。

只是在这里，两个分治区间的信息可以快速地合并罢了。

对于不独立信息的处理

独立的信息指区间 \(\max\) 区间和问题。

不独立的如配对相关问题，经典的有前驱后继，或者 \(a_i + a_j = w\) 的问题。

一种做法是离线进行扫描线，但是不能带修，一种是强行进行高位扫描线，也就是莫队，可以带修，但是复杂度可能无法接受。

然而更好的做法我们需要尝试将不独立的信息变的独立：

配对问题中合理的利用 pre 会有奇效！
配对问题可能出现 \(O(n)\) 影响 pre 的情况，我们需要合理利用 支配 的性质来减少不必要的影响。

例如 P6617 查找 Search 中有很好的体现。

在什么地方使用数据结构？

一般来说，我们有两种方案：

对于信息建立数据结构，在询问时对其进行查询。
对于询问建立数据结构，利用信息更新最终答案。

在 CF702F T-Shirts 中有很好的体现，这两种思路都可以。

小技巧

颜色段均摊

对于 ODT 来说，其区间推平的复杂度是 \(O((n + m) \log n)\) 的，十分的优秀，但是对于查询来说，我们需要通过分块或者线段进行辅助，从而达到正确的复杂度。

有一种特殊情况例外：
如果推平和查询同时发生，意味着推平时对于每一段查询的复杂度是没有问题的！

判断是否可以均摊，我们可以看是否能够构造出一个操作序列使得序列复原，如果可以复原，那么基本是不可以均摊的。

或者我们看是否能找到一个量，不增，或者不减，或者有一个神秘的上界。

更详细的文章：# 算法学习笔记(42): 颜色段均摊

容均摊

对于 \(\sqrt x\) 的操作，可能可以通过 \(\max - \min\) 的势能来搞定。

如果发现极差会变化：\(\max - \min \ne \sqrt{\max} - \sqrt {\min}\)，那么便可以暴力递归下去修改，否则可以整体打一个 \(\sqrt x\) 的标记。对于区间加减，在线段树上至多影响 \(O(\log n)\) 个节点的势能，所以复杂度并不会有问题。

类似的操作有 \(\lfloor \frac x d \rfloor\)，这可以将除法操作变为对于区间的加减操作。

事实上吉司机线段树对于区间取 \(\min / \max\) 的操作也是利用了容均摊，将对于最值的操作分成两套标记：最值与非最值，从而达到合理的复杂度。

自由度与扫描线

自由度指的是询问中变量的数量，例如一位区间的自由度为 \(2\)。

如果将动态问题转化为静态问题，自由度 \(+1\)，也就是增加了 时间 这一维度，这也常常是扫描线的做法。

很多时候，我们可以将询问与信息的影响放在一个二维平面上进行理解，从而得到扫描线的做法。

更详细的文章：

换维扫描线

其处理的修改与询问大概类如：

通过换维扫描线使得：

区间加 \(\to\) 单点加
单点查 \(\to\) 区间查

通俗一点来说，就是对于修改建立数据结构！

区间子区间问题

形式就是多次询问给定区间 \((l, r)\)，求形如 \(\sum_{i = l}^r \sum_{j = i}^r f(i, j)\) 的式子。

一般来说，我们可以从如下几个步骤入手：

考虑只是一个区间怎么做，是否有很好的性质或者充要条件？
考虑只有一次询问怎么做，是否可以进行扫描线，或者进行分治？
- 如果可以扫描线，那么这个问题是否可以通过历史版本和搞定？
- 如果可以分治，是否可以利用询问挂在区间上搞定？
考虑每个点对于那些区间有贡献，放在二维平面上理解，利用甚至 \(O(n \log^2 n)\) 的树套树？
考虑 \(O(n)\) 计算的经典优化方法？
考虑这是不是一个 \(\mathrm{fAkE}\) 的式子，可以利用类似 \(O(\frac {n^2}{w})\) 的东西碾过去？
下一道题？（雾

基于区间逆序对的思考

区间相关的信息，维度与自由度，莫队

双前缀莫队：\(f(l, r, x, y) \to f(1, r, x, y) - f(1, l - 1, x, y) \to f(1, r, 1, y) - f(1, r, 1, x - 1) - f(1, l - 1, 1, y) + f(1, l - 1, 1, x - 1)\)。将 \(4\) 自由度转化为 \(2\) 自由度的问题，利用莫队。

莫队和可撤销莫队至多差一个 \(O(\log n)\) 的复杂度