求解最大正方形面积 — leetcode 221. Maximal Square
本来也想像园友一样,写一篇总结告别 2015,或者说告别即将过去的羊年,但是过去一年发生的事情,实在是出乎平常人的想象,也不具有代表性,于是计划在今年 6 月份写一篇 "半年总结",希望不会忘记。羊年,还是以一道有意思的算法题来告别吧!
Maximal Square,又是一道有意思的题。给出一个二维数组,数组中的元素是 1 或者 0,求解最大的由 1 组成的正方形面积。
比如这样一个二维数组:
1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0
很显然最大的正方形面积为 2*2=4。
根据经验,一眼便看出这是一道 动态规划 题。我们用 dp[i][j] 表示以 matrix[i][j] 为右下角的最大全 1 正方形的边长,仔细思考,如何推得 dp[i][j] 的递推公式?
dp[i][j] 可以从三部分推得,首先是 dp[i-1][j-1],然后是 matrix[i][j] 左边的连续 1 的个数,然后是 matrix[i][j] 上面连续 1 的个数,这三部分取最小值。于是我们可以维护三个数组,dp[i][j] 表示以 matrix[i][j] 为右下角的全 1 正方形的边长,a[i][j] 表示从 matrix[i][j] 往左的连续 1 的个数,b[i][j] 表示从 matrix[i][j] 往上的连续 1 的个数。
可以推得(注意边界值):
if (matrix[i][j] === '1') {
dp[i][j] = Math.min(i && j ? dp[i - 1][j - 1] : 0, j ? a[i][j - 1] : 0, i ? b[i - 1][j] : 0) + 1;
a[i][j] = j ? a[i][j - 1] + 1 : 1;
b[i][j] = i ? b[i - 1][j] + 1 : 1;
ans = dp[i][j] > ans ? dp[i][j] : ans;
} else {
dp[i][j] = a[i][j] = b[i][j] = 0;
}
需同时更新三个数组的值,完整代码可以参考 index_1.js。
当然这还不算完,继续优化。我们以 a 数组为例,其实 a 数组完全能用 dp 数组代替。
- 当 a[i][j-1] <= dp[i-1][j-1] 时,Math.min(dp[i-1][j-1], a[i][j-1]) 的结果就是 a[i][j-1],也就是 dp[i][j-1]
- 当 a[i][j-1] > dp[i-1][j-1] 时,Math.min(dp[i-1][j-1], a[i][j-1]) 的结果就是 dp[i-1][j-1]
所以 Math.min(dp[i-1][j-1], a[i][j-1]) 的结果也就是 dp[i-1][j-1], dp[i][j-1])。数组 b 同理。
所以程序可以将转移方程优化为:
if (matrix[i][j] === '1') {
dp[i][j] = Math.min(i && j ? dp[i - 1][j - 1] : 0, j ? dp[i][j - 1] : 0, i ? dp[i - 1][j] : 0) + 1;
ans = dp[i][j] > ans ? dp[i][j] : ans;
} else {
dp[i][j] = 0;
}
完整代码可以参考 index_2.js。
今天是除夕,最后祝大家在新的一年里身体健康,心想事成!!最重要的还是身体健康,身体健康,身体健康!!!重要的事情说三遍!!!
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