[递推]B. 【例题2】奇怪汉诺塔

B

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【

例

题

2

】

奇

怪

汉

诺

塔

B. 【例题2】奇怪汉诺塔

B.【例题2】奇怪汉诺塔

题目描述

汉诺塔问题，条件如下：

1. 这里有

   A

   A

   A、

   B

   B

   B、

   C

   C

   C 和

   D

   D

   D 四座塔。 这里有

   n

   n

   n个圆盘，

   n

   n

   n 的数量是恒定的。

2. 每个圆盘的尺寸都不相同。
3. 所有的圆盘在开始时都堆叠在塔

   A

   A

   A上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。

4. 我们需要将所有的圆盘都从塔

   A

   A

   A 转移到塔

   D

   D

   D 上。

5. 每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。
6. 请你求出将所有圆盘从塔

   A

   A

   A 移动到塔

   D

   D

   D，所需的最小移动次数是多少。

---

输入格式

没有输入。

---

输出格式

对于每一个整数

n

(

1

≤

n

≤

12

)

n(1 ≤ n ≤ 12)

n(1≤n≤12)，输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

---

题目解析

看题目,是汉诺塔,只是常规的三塔变成了四塔.
那么我们就考虑四塔的做法.

首先我们定义

d

i

d_{i}

di​为三塔时

n

n

n个盘从

A

A

A塔到

C

C

C塔所需的步数.
那么可以得出(证明略):

d

1

=

1

d_{1} = 1

d1​=1

d

i

=

d

i

−

1

∗

2

−

1

(

i

>

1

)

d_{i} = d_{i-1}*2-1~~~~~~~~~~~~~~(i>1)

di​=di−1​∗2−1              (i>1)

然后我们定义

f

(

i

)

f(i)

f(i)为四塔汉诺塔的最优步数为考虑四塔汉诺塔的算法思想，叫Frame算法：

1. 用四柱汉诺塔算法把

   A

   A

   A柱上部分的

   n

   −

   r

   n- r

   n−r个碟子通过

   C

   C

   C柱和

   D

   D

   D柱移到

   B

   B

   B柱上(为

   f

   (

   n

   −

   r

   )

   f( n- r )

   f(n−r)步)。

2. 用三柱汉诺塔经典算法把

   A

   A

   A柱上剩余的

   r

   r

   r个碟子通过

   C

   C

   C柱移到

   D

   D

   D柱上(三塔汉诺塔

   r

   r

   r盘的步数)。

3. 用四柱汉诺塔算法把

   B

   B

   B柱上的

   n

   −

   r

   n-r

   n−r个碟子通过

   A

   A

   A柱和

   C

   C

   C柱移到

   D

   D

   D柱上(为

   f

   (

   n

   −

   r

   )

   f(n-r)

   f(n−r)步)。

4. 依据上边规则求出所有

   r

   (

   1

   ≤

   r

   ≤

   n

   )

   r(1≤r≤n)

   r(1≤r≤n)情况下步数

   f

   (

   n

   )

   f(n)

   f(n)，取最小值得最终解。

f

[

i

]

=

m

i

n

{

f

[

i

]

2

∗

f

[

j

]

+

d

[

i

−

j

]

f[i] = min \left\{\begin{matrix} & f[i]\\ & 2 * f[j] + d[i - j]\\ \end{matrix}\right.

f[i]=min{​f[i]2∗f[j]+d[i−j]​

---

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

ll d[305], f[305]; 

int main ()
{
	d[1] = f[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= 12; ++ i)
		d[i] = d[i - 1] * 2 + 1;
	for (int i = 2; i <= 12; ++ i)
	{
		f[i] = 999999999;
		for (int j = 1; j <= i; ++ j)
			f[i] = min (f[i], 2 * f[j] + d[i - j]);
	}
	for (int i = 1; i <= 12; ++ i)
		printf ("%d\n", f[i]);
	return 0;
}