SAM学习笔记&AC自动机复习

形势所迫，一个对字符串深恶痛绝的鸽子又来更新了。

SAM

后缀自动机就是一个对于字符串所有后缀所建立起的自动机。一些优良的性质可以使其完成很多字符串的问题。

其核心主要在于每个节点的状态和$endpos$这个概念的结合：“状态”定义为从源点出发到达当前节点的所有字符串，$endpos$对于一个字符串它作为整个字符串子串的末尾的集合，而SAM则保证状态和相同的$endpos$集合构成一个一一映射。

容易证明在同一个状态的字符串互为后缀，记最长的那个为$longest(x)$，但是不保证所有同后缀的字符串都是同一个状态，所以我们从一个状态连到前面的一个状态，记连边为$link$，表示被连的那个状态$endpos$比当前这个多。这样的边构成的DAG称之为$parent tree$，容易发现，被连状态的$longest(x)$为连向它的状态的$longest(x)$的后缀。

接下来考虑如何建立SAM，考虑一个一个加进字符，在$X$后加入$S$，我们分三类讨论：

1.记在$parent tree$跳到的节点为$p$，如果$p$没有向$S$连的边，那么直接连边即可。

2.$p$有向$S$连的边，而且$longest(p)+1=longest(p+S)$，那么就说明第一个$p+S$是对于新加入节点第一个$endpos$产生分裂的地方，那么$link[X+S]=p+S$

3.最烦的情况：即连出去的那条边是“飞出去的”

考虑从这个性质，因为从X连到P，所以从起点连到P的$longest$一定是X的后缀，而P的转移边是到T，所以$longest(P+S)$必然在$T$中作为一个后缀。

所以在加上S以后T中的一个后缀（不是T且现在无法表示出，但是必然在字符串中）和X+S不再属于同一个$endpos$，这是第一个断点。所以要从中间截取出一个作为新的状态，$longest$长度应当是$longest(P)+1$。（这个节点也是T的第一个断点）

即：

拆分出$y$，使得$trans[p...w]=y$（$w$是最后一个$trans[w]=T$），然后$y$继承$x$，$link[y]=link[T]$，$link[T]=link[X+S]=y$

代码：

struct SAM{
    int link[N],maxlen[N],trans[N][26],f[N];
    void extend(int id){
        int cur=++sz,p; f[sz]=1;
        maxlen[cur]=maxlen[lst]+1;
        for(p=lst;p&&!trans[p][id];p=link[p]) trans[p][id]=cur;
        if(!p) link[cur]=1;
        else{
            int q=trans[p][id];
            if(maxlen[q]==maxlen[p]+1) link[cur]=q;
            else{
                int tmp=++sz;
                maxlen[tmp]=maxlen[p]+1;
                copy(trans[q],trans[q]+26,trans[tmp]);
                link[tmp]=link[q];
                for(;p&&trans[p][id]==q;p=link[p]) trans[p][id]=tmp;
                link[cur]=link[q]=tmp;
            }
        }
        lst=cur;
    }
}tree;

目前只会板子这种，联赛以后再填坑。