[日常摸鱼]HDU1724 Ellipse-自适应Simpson法

模板题~

QAQ话说Simpson法的原理我还是不太懂…如果有懂的dalao麻烦告诉我~

题意：每次给一个椭圆的标准方程，求夹在直线$x=l$和$x=r$之间的面积

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• Simpson法

（好像有时候也被叫Simpson公式，Simpson积分什么的…看到这里的人应该都知道这个是用来干嘛的吧）

对一段小区间$[l,r]$取奇数个点，然后把区间平均分成$n$段：$x_0,x_1,x_2, \cdots,x_n$，每段长度$\Delta x$，那么：

$\int_l^r f(x) dx \approx  \frac{\Delta x}{3}(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2))+ \frac{\Delta x}{3}(f(x_2)+4f(x_3)+f(x_4)) + \cdots +\frac{\Delta x}{3}(f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_n))$

$n$取得越多答案越准确，时间开销也就越大，然后$n$取多少就是个问题了~

• 三点Simpson法

对一个区间$[l,r]$，直接划分成两段三个点，也就是取中点$mid$，然后用Simpson法算出答案

• 自适应Simpson法（Adaptive Simpson's Rule）

可以根据情况来划分区间，下面就说一下过程…

设精度要求为$eps$，我们对于每一段区间$[l,r]$，取中点$mid$，分别用三点Simpson法算出区间$[l,r],[l,mid],[mid,r]$的值$S_1,S_2,S_3$，如果$|S1-S2-S3|<15 eps$那么就直接得出结果$S_2+S_3-(S_2+S_3-S_1)/15)$，否则递归处理左右两断区间，精度减小一半

然后回到这题就很简单啦，化简一下直接套模板

具体看代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 using namespace std;
 4
 5 int T;
 6
 7 double a,b;
 8
 9 inline double F(double x)
10 {
11     return sqrt(b*(1-x*x/(a)));
12 }
13
14 inline double simpson(double l,double r)
15 {
16     double mid=l+(r-l)/2;
17     return (F(l)+F(r)+4*F(mid))*(r-l)/6;
18 }
19
20 inline double asr(double l,double r,double eps,double A)
21 {
22     double mid=l+(r-l)/2;
23     double L,R;L=simpson(l,mid);R=simpson(mid,r);
24     if(fabs(L+R-A)<=15.0*eps)return L+R+(L+R-A)/15.0;
25     return asr(l,mid,eps/2,L)+asr(mid,r,eps/2,R);
26 }
27
28 inline double solve(double l,double r,double eps)
29 {
30     return asr(l,r,eps,simpson(l,r));
31 }
32
33 int main()
34 {
35     scanf("%d",&T);
36
37     while(T--)
38     {
39         double eps=1e-4;
40         double l,r;
41         scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&l,&r);a=a*a;b=b*b;
42         printf("%.3lf\n",solve(l,r,eps)*2.0);
43     }
44
45     return 0;
46 }