【GDOI2014模拟】JZOJ2020年8月14日提高组 服务器

【GDOI2014模拟】JZOJ2020年8月14日提高组 服务器

题目

Time and Memory Limits

Description

我们需要将一个文件复制到n个服务器上，这些服务器的编号为S1, S2, …, Sn。

首先，我们可以选择一些服务器，直接把文件复制到它们中；将文件复制到服务器Si上，需要花费ci > 0的置放费用。对于没有直接被复制文件的服务器Si来说，它依次向后检查Si+1, Si+2, …直到找到一台服务器Sj：Sj中的文件是通过直接复制得到的，于是Si从Sj处间接复制得到该文件，这种复制方式的读取费用是j – i（注意j>i）。另外，Sn中的文件必须是通过直接复制得到的，因为它不可能间接的通过别的服务器进行复制。我们设计一种复制方案，即对每一台服务器确定它是通过直接还是间接的方式进行复制（Sn只能通过直接方式），最终使每一台服务器都得到文件，且总花费最小。

Input

输入文件的第一行有一个整数n，表示服务器的数目。输入文件的第二行有n个整数，顺数第i个表示ci：在Si上直接复制文件的费用。

Output

输出文件中只包含一个整数，即最少需要花费的费用。

Sample Input

10

2 3 1 5 4 5 6 3 1 2

Sample Output

18

Data Constraint

60%的数据中，1 <= n <= 1 000

100%的数据中，1 <= n <= 1 000 000

80%的数据中， 1 <= ci <= 50

100%的数据中，1 <= ci <= 1 000 000 000

最终结果可能较大，请注意选择适当的数据类型进行计算。

Hint

题解

题意

给出\(n\)个点

每个点可以选择两种操作

一种是直接复制，费用为\(a_i\)

一种是间接复制，费用为\(i\)后面第一个直接复制的\(j\)的\(j-i\)

\(n\)号点必须直接复制

问最小代价

分析

考虑\(DP\)

设\(f[i]\)表示\(i\)点直接复制和间接复制的总和

那么转移

\(f[i]=min\{f[j]+j*(j-i)-\dfrac{(j-i)(j+i-1)}{2}\}\)

转移\(n^2\)，过不了

思考优化

发现可以斜率优化

优化

\(\dfrac{f[j]-f[k]+\dfrac{j^2-k^2+k-j}{2}}{j-k}<i(j>k)\)

单调队列维护

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,l,r,ans,f[1000005],q[1000005],a[1000005];
long long read()
{
	long long res=0;char ch;
	ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9')
	{
		res=(res<<1)+(res<<3)+(ch-'0');
		ch=getchar();
	}
	return res;
}
long long get(long long l,long long r)
{
	return r*(r-l)-(r+l-1)*(r-l)/2;
}
double slope(long long x,long long y)
{
	return (f[x]-f[y]+(x*x-y*y+y-x)/2)*1.0/(x-y);
}
int main()
{
	n=read();
	for (long long i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	f[n]=a[n];
	l=1;
	r=1;
	q[1]=n;
	for (long long i=n-1;i;i--)
	{
		while (l<r&&slope(q[l],q[l+1])>=i) l++;
		f[i]=a[i]+f[q[l]]+get(i+1,q[l]);
		while (l<r&&slope(q[r-1],q[r])<slope(q[r],i)) r--;
		q[++r]=i;
	}
	ans=99999999999999;
	for (long long i=1;i<=n;i++)
		ans=min(ans,f[i]+get(1,i));
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}