SGU 495 Kids and Prizes：期望dp / 概率dp / 推公式

题目链接：http://acm.sgu.ru/problem.php?contest=0&problem=495

题意：

　　有n个礼物盒，m个人。

　　最开始每个礼物盒中都有一个礼物。

　　m个人依次随机选一个盒子，如果有礼物就拿走，然后放回空盒子。

　　问你所有人得到总礼物数的期望。

题解：

　　三种做法：期望dp，概率dp，推公式

　　一、期望dp

　　　　表示状态：

　　　　　　dp[i] = 该第i个人拿箱子时的总礼物的期望

　　　　找出答案：

　　　　　　ans = dp[m]

　　　　如何转移：

　　　　　　对于第i个人，拿到礼物或没拿到。

　　　　　　（1）φ（没拿到） = dp[i]　　P（没拿到） = dp[i]/n

　　　　　　（2）φ（拿到） = dp[i]+1　　P（拿到） = (n-dp[i])/n

　　　　　　综上：dp[i+1] = dp[i] * dp[i]/n + (dp[i]+1) * (n-dp[i])/n

　　　　边界条件：

　　　　　　dp[0] = 0

　　　　　　还没开始拿的时候礼物数为0

　　二、概率dp

　　　　表示状态：

　　　　　　dp[i] = 第i个人拿到礼物的概率

　　　　找出答案：

　　　　　　ans = ∑ dp[i]

　　　　　　每个人得到礼物的概率 * 得到礼物的数量（为1） 之和。

　　　　如何转移：

　　　　　　对于第i个人，拿到礼物或没拿到。

　　　　　　（1）没拿到：dp[i+1]依然等于dp[i]，没拿到礼物的概率为1-dp[i].

　　　　　　（2）拿到：dp[i+1] = dp[i] - 1/n，拿到的概率为dp[i].

　　　　　　综上：dp[i+1] = dp[i] * (1 - dp[i]) + (dp[i] - 1/n) * dp[i]

　　　　边界条件：

　　　　　　dp[0] = 1

　　　　　　所有盒子里都有礼物，第0个人一定拿到礼物。

　　三、推公式

　　　　m个人是独立的。

　　　　对于每个礼物不被人选中的概率为((n-1)/n)^m

　　　　那么不被选中的礼物数的期望就是 n*((n-1)/n)^m

　　　　所以答案就是 n-n*((n-1)/n)^m

AC Code(expectation):

 // state expression:
 // dp[i] = expectation
 // i: considering ith person
 //
 // find the answer:
 // ans = dp[m]
 //
 // transferring:
 // dp[i+1] = dp[i] * dp[i]/n + (dp[i]+1) * (n-dp[i])/n
 //
 // boundary:
 // dp[0] = 0
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_M 100005

 using namespace std;

 int n,m;
 double dp[MAX_M];

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=;i<m;i++)
     {
         dp[i+]=dp[i]*dp[i]/n+(dp[i]+1.0)*(n-dp[i])/n;
     }
     printf("%.10f\n",dp[m]);
 }

AC Code(probability):

 // state expression:
 // dp[i] = probability
 // i: ith person got a gift
 //
 // find the answer:
 // sigma dp[i]
 //
 // transferring:
 // dp[i+1] = dp[i] * (1 - dp[i]) + (dp[i] - 1/n) * dp[i]
 //
 // boundary:
 // dp[0] = 1
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_M 100005

 using namespace std;

 int n,m;
 double ans=;
 double dp[MAX_M];

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     dp[]=;
     for(int i=;i<m;i++)
     {
         dp[i+]=dp[i]*(1.0-dp[i])+(dp[i]-1.0/n)*dp[i];
         ans+=dp[i];
     }
     printf("%.10f\n",ans);
 }

AC Code（公式）:

 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <math.h>

 using namespace std;

 int n,m;

 int main()
 {
     scanf("%d%d",&n,&m);
     printf("%.10f\n",n-n*pow((n-1.0)/n,m));
 }