关于最小生成树，拓扑排序、强连通分量、割点、2-SAT的一点笔记

关于最小生成树，拓扑排序、强连通分量、割点、2-SAT的一点笔记

前言：近期在复习这些东西，就xjb写一点吧。当然以前也写过，但这次偏重不太一样

MST

最小瓶颈路：u到v最大权值最小的路径。在最小生成树上。是次小生成树的一个子问题qwq

最小极差生成树：枚举最小生成树上的最小权值的大小

topo sort

应用：

1. 可以去掉基环树上的树
2. DAG上拓扑序小的点指向拓扑序大的点。混合图变DAG时拓扑排序一下然后把无向边从左往右连就可以了。（无解：原来有向边构成的图不是DAG）

Tarjan

强连通分量 SCC

low[u]定义为u子树中的点通过back edge和cross edge能达到的时间戳最小的点v的时间戳，且满足v能到达u（即v不在其他已经确定的SCC中）

if(!dfn[v]) {
		dfs(v);
		low[u] = min(low[u], low[v]);
} else if(!belong[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);

割点

low[u]定义不变，由于是无向图所以u和父亲的连边就是tree edge，即v不可以是父亲

然后要特判根的时候，至少俩孩子才可以

PS:删点变树，不能删割点

2-SAT

以前的

形式：

每个变量有两个取值(x,x')，有一些条件限制了某两个变量不能同时取某个值。即“或”。

构图：

对于限制(a,b)，连有向边(a,b'),(b,a')

a -> b 意味着a成立时b必须成立

染色做法：

选择一个没有赋值的变量x，赋值为真，然后dfs染色下去，冲突则无解(x和x'都为真)

应用：

1. 判断某个变量在该系统中是否可取真：

   从此变量开始dfs即可

2. 求字典序最小的解：

从小到大，先赋值真染色，冲突的话把这次染色回滚掉，再赋值假染色

就是说进行x时，1...x-1时dfs染色的结果还保留着

复杂度：最坏\(O(nm)\)

优势在于我们拥有决定一个变量取值的能力

SCC做法

原图有对称性

显然一个scc中的点要么都选要么都不选，x和x'在同一个scc中则无解

缩点，反向连边

进行拓扑排序，选第一个未染色的点，染白色，然后将否定点及其新图后代dfs染黑色（注意边是反向的，所以一个点为假那么他的后代一定为假）。重复此过程。

复杂度：\(O(m)\)

局限性很强，只能判断是否有解和构造一组解

字典序最小的解也不可做，因为toposort中不断加入ind=0的新点，标号更小的点可以是后加入的（但这时这个点可能已经因为之前的煞笔操作而被染成黑色了）