最优矩阵连乘问题 区间DP

最优矩阵连乘积

Accepted: 10 Total Submit: 18
Time Limit: 1000ms Memony Limit: 32768KB

Description

在科学计算中经常要计算矩阵的乘积。矩阵A和B可乘的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数。若A是一个p×q的矩阵，B是一个q×r的矩阵，则其乘积C=AB是一个p×r的矩阵。其标准计算公式为：

由该公式知计算C=AB总共需要pqr次的数乘。

为了说明在计算矩阵连乘积时加括号方式对整个计算量的影响，我们来看一个计算3个矩阵{A1，A2，A3}的连乘积的例子。设这3个矩阵的维数分别为10×100，100×5和5×50。若按第一种加括号方式((A1A2)A3)来计算，总共需要10×100×5+10×5×50=7500次的数乘。若按第二种加括号方式(A1(A2A3))来计算，则需要的数乘次数为100×5×50+10×100×50=75000。第二种加括号方式的计算量是第一种加括号方式的计算量的10倍。由此可见，在计算矩阵连乘积时，加括号方式，即计算次序对计算量有很大影响。

于是，人们自然会提出矩阵连乘积的最优计算次序问题，即对于给定的相继n个矩阵{A1,A2,…,An}(其中Ai的维数为pi-1×pi ，i=1,2,…,n)，如何确定计算矩阵连乘积A1A2…An的一个计算次序(完全加括号方式)，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

Input

有若干种案例，每种两行，第一行是一个非负整数n表示矩阵的个数，n=0表示结束。接着有n行，每行两个正整数，表示矩阵的维数。

Ouput
对应输出最小的乘法次数。

Sample Input

3

10 100

100 5

5 50

6

30 35

35 15

15 5

5 10

10 20

20 25

0

Sample Output

7500

15125

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define ll long long
using namespace std;
int dp[][],p[];//dp[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵相乘的最少次数是dp[i][j]
int main()
{
    int n;//n个矩阵相乘
    cin>>n;
    for(int i=;i<n;i++)//输入矩阵的行数和列数
        cin>>p[i]>>p[i+];
    memset(dp,,sizeof(dp));
    for(int len=;len<=n;len++)//区间长度
    {
        for(int i=;i<=n;i++)//起始位置
        {
            int cnt=;
            int j=i+len-;//结束位置
            if(j>n)
                break;
            for(int k=i;k<j;k++)//分割点k
                cnt=min(cnt,dp[i][k]+dp[k+][j]+p[i-]*p[k]*p[j]);
            dp[i][j]=cnt;
        }
    }
    cout<<dp[][n]<<endl;
    return ;
}