题解 loj2065 「SDOI2016」模式字符串

点分治。

考虑经过当前分治中心\(u\)的点对数量。

这种数点对数的问题，有一个套路。我们可以依次考虑\(u\)的每个儿子，看用当前的儿子，能和之前已经考虑过的所有儿子，组成多少点对。这样所有合法的点对都会被恰好计算一次。

现在搜索\(u\)的一个儿子\(v\)的子树。对子树里的每个点，考虑它到\(u\)的有向路径形成的串。在搜索的过程中，我们每次要在当前串的“开头”处添加一个字符（即把整个串整体右移一位），没有什么好的数据结构可以维护，于是想到哈希。现在我们要判断，当前的串，是否是“若干个\(s\)”的一个前缀；如果是（称这样的节点是合法的），那我们要知道它最后匹配到的“零头”是多长，也即这个“前缀”的长度\(\bmod m\)的余数是多少。具体地，在搜索时，我们维护一个桶\(buc\)。\(buc[i]\)表示有多少个合法的节点\(x\)，使得\(x\)到\(u\)的串的长度\(\bmod m=i\)。

这样就维护出了所有的前缀。现在我们想知道，\(v\)的子树内每个合法的前缀，能匹配\(v\)之前的子树内的多少合法的后缀。在搜索时，我们用和维护前缀类似的方法来维护后缀。对后缀，我们把\(s\)整体反转，然后也开一个桶，做和匹配前缀时一样的操作即可。

同样，对于\(v\)子树内的所有合法的后缀，我们也要知道它能匹配\(v\)之前的子树内的多少合法的前缀。（这是因为路径是有向的，因此要拿\(v\)内的前缀匹配一次前面的后缀，再拿\(v\)内的后缀匹配一次前面的前缀）。

现在完成了对\(v\)的子树的搜索，也把\(v\)子树的贡献计入了答案。我们得到了两个桶，分别是\(v\)内所有合法前缀的串长\(\bmod m\)的值为\(i\)的点的数量，和\(v\)内所有合法后缀的串长\(\bmod m\)的值为\(i\)的点的数量。现在，\(v\)这棵子树的身份就从“当前子树”，变成了“当前子树之前的子树”。于是拿这两个\(v\)的桶去分别更新两个“全局桶”即可。

注意，桶的大小是\(\min(m,\text{maxdep}_v)\)，在更新全局桶和清空小桶时一定不能直接for到\(m\)，否则复杂度就不对了。

除了点分治，其他部分的复杂度是线性的。因此总时间复杂度\(O(n\log n)\)。

参考代码