@gym - 100958J@ Hyperrectangle

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给定一个大小为 $l_1\times l_2 \dots l_d$ 的 d 维超矩形，将它的一个角放置在原点，使得它的第 i 维在范围 $[0, l_i]$。

求出这个矩形中满足 $x_1 + x_2 + \dots + x_d \leq s$ 的点形成的体积 × d!。

@solution@

首先，简单积分一下可以得到满足 $\sum_{i=1}^{d}x_i \leq s$ 的点形成的体积为 $\frac{s^d}{d!}$。

因为数据都是整数，我们不妨去考虑每一个 $1\times 1 \dots \times 1$ 的单位超矩形 $(x_1, x_2, \dots x_d) - (x_1 + 1, x_2 + 1, \dots x_d + 1)$ 的贡献。

除去完全包含（$s - \sum_{i=1}^{d}x_i \geq d$）与完全不包含（$s - \sum_{i=1}^{d}x_i \leq 0$），还有 d - 1 种不完全包含的情况（$0 < s - \sum_{i=1}^{d}x_i < d$）。

可以作个背包 + 简单前缀和优化算出每一种情况有多少个单位超矩形。

然而不完全包含的情况并不能直接通过积分算体积。不妨仍考虑组合方法，记 $f_j$ 表示满足 $s - \sum_{i=1}^{d}x_i = j$ 的体积。

对于 $\sum_{i=1}^{d}x_i \leq s$，积分出来的体积是 $\frac{s^d}{d!}$；然而我们也可以采用单位超矩形的贡献算出体积。

不妨只考虑 s < d 的情况，则可以列出等式 $\frac{s^d}{d!} = \sum_{i=0}^{s}{s - i + d - 1\choose d - 1}f_i$，由此就可以在 $f_s$ 与 $f_{0...s-1}$ 之间建立递推关系。

时间复杂度瓶颈在背包的部分，为 O(l^3)。

@accepted code@

#include <cstdio>

#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXN = 300;

const int MAXS = MAXN*MAXN;

const int MOD = int(1E9) + 7;

inline int add(int x, int y) {return (x + y) % MOD;}

inline int mul(int x, int y) {return 1LL*x*y % MOD;}

inline int sub(int x, int y) {return add(x, MOD-y);}

int pow_mod(int b, int p) {

	int ret = 1;

	for(int i=p;i;i>>=1,b=mul(b,b))

		if( i & 1 ) ret = mul(ret, b);

	return ret;

}

int l[MAXN + 5], d, s, S;

int fct[2*MAXN + 5], ifct[2*MAXN + 5];

int comb(int n, int m) {

	return mul(fct[n], mul(ifct[m], ifct[n-m]));

}

int f[MAXN + 5];

void init() {

	fct[0] = 1;

	for(int i=1;i<=2*d;i++)

		fct[i] = mul(fct[i-1], i);

	ifct[2*d] = pow_mod(fct[2*d], MOD-2);

	for(int i=2*d-1;i>=0;i--)

		ifct[i] = mul(ifct[i+1], i+1);

	for(int i=1;i<=d;i++) {

//		f[i] = mul(pow_mod(i, d), ifct[d]);

		f[i] = pow_mod(i, d);

		for(int j=0;j<i;j++)

			f[i] = sub(f[i], mul(comb(i-j+d-1, d-1), f[j]));

	}

}

int g[MAXS + 5];

int main() {

	scanf("%d", &d), init();

	for(int i=1;i<=d;i++)

		scanf("%d", &l[i]), l[i]--;

	scanf("%d", &s);

	g[0] = 1;

	for(int i=1;i<=d;i++) {

		S += l[i];

		for(int j=1;j<=S;j++) g[j] = add(g[j], g[j-1]);

		for(int j=S;j>l[i];j--) g[j] = sub(g[j], g[j-l[i]-1]);

	}

	int ans = 0;

	for(int i=0;i<=s;i++)

		ans = add(ans, mul(f[min(s-i,d)], g[i]));

	printf("%d\n", ans);

}

@details@

一开始总以为它是一道积分题，结果发现怎么积分都不对劲。

然后尝试不从积分走而从组合数学走，发现还真能做出来。