bzoj4753: [Jsoi2016]最佳团体（分数规划+树形依赖背包）

　　菜菜推荐的“水题”虐了我一天T T...（菜菜好强强qwq~

　　显然是个分数规划题，二分答案算出p[i]-mid*s[i]之后在树上跑依赖背包，选k个最大值如果>0说明还有更优解。

　　第一次接触树形依赖背包，所以之前写的十几发WA和TLE都是错误写法，我还是naive啊T T

　　树形依赖背包的普遍做法是按dfs序DP，设f[i][j]为dfs序为i的点，已经选了j个点的最大价值，nxt[i]为i的下一个子树的dfs序则有：

　　f[nxt[i]][j]=f[i][j]

　　f[i+1][j+1]=f[i][j]+w[i]

　　注意树形依赖背包最好使用刷表法，因为如果要求代价必须为k并且权值有负数的话使用填表法可能会导致从不合法状态转移。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=,inf=1e9;
struct poi{int too,pre;}e[maxn];
int n,k,x,tot,cnt,mx;
int dfn[maxn],nxt[maxn],last[maxn],s[maxn],p[maxn];
double f[maxn][maxn],w[maxn];
inline void read(int &k)
{
    int f=;k=;char c=getchar();
    while(c<''||c>'')c=='-'&&(f=-),c=getchar();
    while(c<=''&&c>='')k=k*+c-'',c=getchar();
    k*=f;
}
void add(int x,int y){e[++tot].too=y;e[tot].pre=last[x];last[x]=tot;}
void dfs(int x)
{
    dfn[x]=cnt++;
    for(int i=last[x];i;i=e[i].pre)dfs(e[i].too);
    nxt[dfn[x]]=cnt;
}
int main()
{
    read(k);read(n);
    for(int i=;i<=n;i++)read(s[i]),read(p[i]),read(x),add(x,i),mx=max(mx,p[i]);
    dfs();
    double l=,r=1e4;
    while(r-l>1e-)
    {
        double mid=(l+r)/;
        for(int i=;i<=n;i++)w[dfn[i]]=1.0*p[i]-mid*s[i];
        for(int i=;i<=n+;i++)for(int j=;j<=k+;j++)f[i][j]=-inf;
        for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=min(i,k+);j++)
        {
            if(f[i][j]>f[nxt[i]][j])f[nxt[i]][j]=f[i][j];
            if(f[i][j]+w[i]>f[i+][j+])f[i+][j+]=f[i][j]+w[i];
        }
        if(f[n+][k+]>1e-)l=mid;else r=mid;
    }
    printf("%.3lf\n",l);
}

　　第二种做法仅能在代价为选取点数的情况下使用，直接在树上做背包，但是在对于每一个子节点做完背包之后才把子节点的size加进父节点，这样的复杂度也是O(N^2)的。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=;
double eps=1e-,inf=1e12;
struct poi{int too,pre;}e[maxn];
int n,k,x,tot,sum;
int p[maxn],s[maxn],size[maxn],last[maxn];
double f[maxn][maxn],w[maxn],g[maxn];
void read(int &k)
{
    int f=;k=;char c=getchar();
    while(c<''||c>'')c=='-'&&(f=-),c=getchar();
    while(c<=''&&c>='')k=k*+c-'',c=getchar();
    k*=f;
}
void add(int x,int y){e[++tot].too=y;e[tot].pre=last[x];last[x]=tot;}
void dfs(int x)
{
    size[x]=;f[x][]=w[x];
    for(int i=last[x];i;i=e[i].pre)
    {
        dfs(e[i].too);
        for(int j=;j<=size[x]+size[e[i].too];j++)g[j]=f[x][j];
        for(int j=;j<=size[x];j++)
        for(int k=;k<=size[e[i].too];k++)
        g[j+k]=max(g[j+k],f[x][j]+f[e[i].too][k]);
        size[x]+=size[e[i].too];
        for(int j=;j<=size[x];j++)f[x][j]=g[j];
    }
}
int main()
{
    read(k);read(n);
    for(int i=;i<=n;i++)read(s[i]),read(p[i]),read(x),add(x,i);
    double l=,r=1e4;
    while(r-l>eps)
    {
        double mid=(l+r)/;
        for(int i=;i<=n;i++)w[i]=1.0*p[i]-mid*s[i];
        for(int i=;i<=n;i++)for(int j=;j<=k+;j++)f[i][j]=-inf;
        dfs();if(f[][k+]>eps)l=mid;else r=mid;
    }
    printf("%.3lf\n",l);
}