codeforces 722E Research Rover

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题意

\(1e5*1e5\)的棋盘中有\(2000\)个坏点，初始给定一个值\(s(1<=s<=1e6)\)。从棋盘左上角走到右下角，只允许向右或者向下走，每经过一个坏点，\(s=\lceil{s/2}\rceil\)，求到达棋盘右下角时，\(s\)的值的期望。

题解

经过\(log\)级别的坏点之后，\(s\)的值就衡为\(1\)了。对所有坏点根据\(x\)从小到大，\(y\)从小到大排序。

\(f_{i, j}\)表示从坏点\(i\)走到右下角经过\(j\)个坏点（不包括\(i\)）。

\(f_{i, 0}=Paths(i, 右下角)（所有情况）-\Sigma_{k!=i}{(Paths(i, k)*f_{k, 0})}（经过坏点个数大于零个的情况）\)

\(f_{i, j}=Paths(i, 右下角)（所有情况）-\Sigma_{k!=i}{(Paths(i, k)*f_{k, j})}（经过坏点个数大于j个的情况）-\Sigma_{k=0}^{j-1}{f_{i,k}}（经过坏点个数小于j个的情况）\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define rep(i, a, b) for(int i=(a); i<(b); i++)
#define sz(x) (int)x.size()
#define de(x) cout<< #x<<" = "<<x<<endl
#define dd(x) cout<< #x<<" = "<<x<<" "
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef vector<int> vi;
//------

const int N=2020, mod=1e9+7;
int n,m,k,s;
bool isa;
pii a[N];
ll f[N][22], jc[201010], inv[201010];
int val[22];

ll kpow(ll a,ll b) {
	ll res=1;
	while(b) {
		if(b&1) res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}

void init() {
	jc[0]=1;
	rep(i,1,201010) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	inv[201010-1]=kpow(jc[201010-1], mod-2);
	for(int i=201010-2;i>=0;--i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}

ll C(int n, int m) {
	if(n<0||m<0) return 0;
	return jc[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}

ll pa(int n, int m) {
	return C(n+m, m);
}

void upd(ll &a, ll b) {
	a=(a+b)%mod;
	if(a<0) a+=mod;
}

int main() {
	init();
	while(~scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s)) {
		///init
		isa=0;
		///read
		rep(i,0,k) {
			int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
			if(x==1&&y==1) isa=1;
			a[i]=mp(x, y);
		}
		///get val
		int p;
		for(p=0;s>1;++p) {
			val[p]=s;
			s=(s+1)/2;
		}
		val[p]=1;
		///solve
		if(!isa) a[k++]=mp(1, 1);
		sort(a,a+k);
		for(int i=k-1;i>=0;--i) {
			f[i][0]=pa(n-a[i].fi, m-a[i].se);
			rep(j,i+1,k) {
				upd(f[i][0], -pa(a[j].fi-a[i].fi, a[j].se-a[i].se)*f[j][0]%mod);
			}
		}
		rep(j,1,p) {
			for(int i=k-1;i>=0;--i) {
				f[i][j]=pa(n-a[i].fi, m-a[i].se);
				rep(_,i+1,k) {
					upd(f[i][j], -pa(a[_].fi-a[i].fi, a[_].se-a[i].se)*f[_][j]%mod);
				}
				rep(_,0,j) {
					upd(f[i][j], -f[i][_]);
				}
			}
		}
		ll cnt=pa(n-1, m-1), ans=kpow(cnt, mod-2), sum=0;
		rep(j,0,p) {
			upd(cnt, -f[0][j]);
			int t=j+isa;
			upd(sum, f[0][j]*val[t]%mod);
		}
		upd(sum, cnt);
		ans=ans*sum%mod;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}